電磁学の問題《磁気：ソレノイドコイル》

問.半径ｒの無限長ソレノイドコイル（単位長さ当たりの巻数Ｎ）に電流Ｉが流れている。このコイルに作用するコイルの他院長さあたりの軸方向の電磁力Ｆを求めよ。

コイルの半径方向の電磁力なら仮想変位法で求められそうですが、軸方向となるとそもそも力が働いているのかどうか怪しくなってくるような気がします。

アドバイスだけでもいいのでどなたかお願します。

No.35 回答者： Teleskope 回答日時： 2006/01/04 17:40

　

　
>>　無限長ソレノイドコイル（半径ｒ、単位長さ当たり巻数Ｎ、電流Ｉ）に作用する単位長さあたりの軸方向電磁力Ｆを求めよ。 <<


　ほかに有限長コイルの課題もあるのなら 一般性のある解法が良いでしょう。No.1氏や教官の言う「Ｆ=∂W/∂zを計算」です。
それから
「単位長あたり」とは設問が『単位長あたりの磁場エネルギから力を求め‥』だったのでは？これがこの種の問題の一般解法です。



１．仮想仕事
無限長コイルの磁場は内部のみに
　　Bz =μNI　　…(1)
ですよね。円筒座標系は軸をz軸にするお約束が多いです。
「一般に磁場BはエネルギWを保有する」これが履修済みで既知なら
　　W = 1/(2μ)∫B^2dV
の体積分で(1)式から直ちに
　　W =(μ/2)(NI)^2V　　[J]　…(2)
　　V =(πa^2)Z
Vは体積、πa^2は断面積、Zは任意の長さ
従って
　　F =∂W/∂z =(μ/2)(NI)^2S　[J/m]　…(3)
これで終わりです。これが仮想仕事の計算です。



２．おまけ袋
　式(3)の単位[J/m]を見て力[N]である事は直感できましたか？ もともと力学エネルギの定義は「力・変位」ですから変位で割れば残りは力です。 仮想仕事で力を求めよ,の問題はエネルギが求まれば ∂(エネルギ)/∂(変位)＝力 で決まりです。

　今回の課題が『単位長あたりの磁場エネルギから力を求め‥』だとしたら、まんま答だったんですねｗ

　物理では「密度」を多用します、上記の「単位長あたりのエネは力だ」のほかに「単位体積あたりのエネは圧力だ」もよく使われます。　無限長コイルも、全エネルギは無限大ですが「単位長あたりのエネルギ密度」で表現するのですね。　電流も IがN本 から密度という連続量の概念に早めに親しむ方が先々お奨めです。
おまけ
　　J/m = (kg m2/s2)/m = (kg m/s2) = N
　　J/m^3 = (kg m2/s2)/m^3 = (kg m/s2)/m2 = N/m2 = Pa




３．付記
　∂W/∂zの仮想仕事はアコーディオンの伸縮です。
http://www.library.yale.edu/~mkoth/accordion.gif
伸縮してもジャバラの凸凹の総数は同じままです。　コイルも、長さが１→(1+δ) に伸びて 単位長あたりの巻数が N → N'になっても巻数は同じままだから
　　1×N = (1+δ)N'　　ですから
　　N'= N/(1+δ)　　　を得ます。
伸びた状態での磁場(1)式は
　　B'= μN'I = μNI/(1+δ)　　…(4)
に減ります。
これは、伸縮の代わりに電流だけを I/(1+δ) に変えても 同じB'の値にできますよね、　コイルの電流が変われば、磁場も変わって吸引力も変わる事はイメージが容易だと思います。コイルを伸縮させる事はそれと同じ効果だということです。アコーディオン的な仮想仕事。
　続いて、
アコーディオンの中が減圧されてると軸方向に縮む力が発生してることは容易に想像できますよね。これは課題のモデルになってます。磁場は圧力に形容できてそれを「磁気圧」といいます。
　さらに、
ジャバラが仕切られてて各室の減圧度が違う場合をイメージしてください。有端コイルは磁束漏れがあるのでこんなイメージに近いです。（残念ながら具体的な力までは対応しません。）　で、仮想仕事として；両端だけを持って圧伸するのではなく、各室を等しくδ伸縮させるに要するエネルギ、その総和を∂W/∂z‥この手順で言えるのか本当なのか引っかけなのか熟考を。



５．機序
　Bの変化がエネルギ変化につながる仕組みの話です。
ファラデーの電磁誘導です。理科の実験で体験した「コイルの中で磁石を動かすと電圧が発生する」というやつです。マクスウエル方程式では
　　rotE=-∂B/∂t　　…(5)
ですね。
課題のコイルを伸縮させるとBが変化するのだから → 上式の電圧が発生する → 電圧はコイルにも発生する → そこには電流Iが居るから → 電圧と電流の積＝電力が生じる → 電力とは電気エネルギの移動のことである、とつながります。

最初と最後だけ言うと『電流が流れてるコイルを伸縮させると電気エネルギが出入りする』です。→ 変位でエネルギが変わる → やっぱり∂W/∂zまんまのようですね → エネルギ割る変位の単位が力であることを認めるならば → この過程のどこかに力が顔を出してる‥ということです。

　正面攻撃で電荷の移動とそれ自身のベクトルポテンシャルだけからエネルギを導出するには、電磁気の学習過程では先行知識を要するので、　上記のように電力という馴染みのある概念を介在させて「磁場はエネルギを有す」と示すのが普通です。

（電気屋的補足；この駆動回路は定電流源が必要です。電池とコイルの直流抵抗を利用したような駆動では ∂I/∂Vz項などが発生して初学者むけの問題でなくなります。）




６．余談
　↓電磁力のQ&Aの例です
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=892193
　この回答では噛み砕いて
(1)濃淡がある場合は 濃い磁界は引く力が強いゆえ 濃い方向に力が発生する。
(2)濃淡が無い場合は「そちらに動いた方が濃くなる」方向に力が発生する。
　と場合分けしました。
前者は磁場勾配と言い ↓端があるコイルの漏洩磁界が典型的です。
http://www.ele.auckland.ac.nz/~kacprzak/notes_fi …
前者のみで「磁界が一様なら吸引力がない」と言ってしまうのは遺漏だし、後者だけでは前者を包含しきれない。もとは一つの現象 F=∂W/∂z です。しかし上記のQ&Aにこの式を持ち込むのは不適切ですよね。　確かファインマンの箴言だったと思いますが；電磁気のように物理は途が長いので 途中では 分かりやすくした式（学習者が倒しやすくしたキャラ、ボスキャラでない練習台）を使って次第に力を付けていきます。多くの途中式は よくできたのが多く便利ですが 慣れすぎてそれが全能形だと勘違いしないように‥のような話でした。その意味ではF=∂W/∂zも同じです。
　フレーミングの三本指(F=B×I)も本当に便利で広く使われてます。が「 Bはz方向ゆえ Fもz方向だと この三本指ルールに反するからそんな力はあり得ない」とするのは誤用です、上記５の機序が存在します。
これらは無限長か否かにも無関係です。

　
　

この回答へのお礼

返事遅れまして本当に申し訳ありません。m(_ _)m
これらの記事に対しても必ずお礼を投稿します。

＞「単位長あたり」とは設問が『単位長あたりの磁場エネルギから力を求め‥』だったのでは？これがこの種の問題の一般解法です

いえ、確実に単位長さ辺りの力です。問題文自体は間違ってませんし、現に教授が『単位長さ辺りに働く力は・・・』っていってましたし...。教授が、ヒントくださいましたが、そのときも単位長さ辺りの力でした。


それから、仮想仕事で計算するといい感じにできますね。しかし、単位長さ辺りと、考えると少し微妙な気がします。

以前は自分自身単位長さあたりと聞かれてはじめはどのように力が働くのかイメージできなかったのですが教官の説明を聞くと少し理解していたのですが、今では忘れてしまいよくわからなくなってしまってます...。

皆さんが、たくさんレスしてくださる記事をみてもっと勉強します。

お礼日時：2006/01/07 02:18

No.34 回答者： foobar 回答日時： 2006/01/03 21:04

ごめんなさい、#32では#31さんの添え木のイメージをしっかり取り違えていました。

ご指摘のとおり、ソレノイド周辺の空間に応力0(だけど、無限大の空間断面全域で積分すると、B^2S/εになる)力が加わっていることになります。

この部分(応力は0だけど無限の面積にわたって積分すると有限の力になる)を、どう見るか、という話になりますか。
（
・たとえ応力0といえども空間全体で積分すると一定値になるのだから無視すべきではない
・応力0なら支えるものが無くても良いので無視してもいい
のどちらを採用するかということになるかなと。
）

(コイルの各ターンにかかる力を積分すると不定になる、というのは、力を任意の割合で、ボビンの軸力と、空間の応力0の力（というのも変な気がしますが)に分割できる、という意味合いになるのかな）

No.33 回答者： foobar 回答日時： 2006/01/03 19:34

#32の仮想変位への補足

aもbも共に無限遠まで伸びる磁束なんですが、強引に差をとると、、、
共に磁気エネルギーは∞なので、数式的には、∞-∞=不定。
ということで、仮想変位を使って計算すると、厳密には、やはり、不定になってしまうように思います。

No.32 回答者： foobar 回答日時： 2006/01/03 19:16

(leibnitzざま、回答者の間で議論をしてますが、ご容赦いただきたく）

仮想変位に関して
立場としては「無限長ソレノイドで仮想変位は使いにくい」となりますか。
具体的に、例を挙げてみると、
原点を中心にx軸方向に伸びている無限ソレノイドの生成する磁束(a)を考えてみます。
で、x=0で切り離して、δxだけのばした磁束(b)と比較します。
aもbもx軸方向に無限大まで伸びた磁束です。さて、その差は？？
(bがaをδx伸ばしたもの、というのを知らされずに比較して、差が見えるでしょうか。)
という点です。


#27の補足
#27では、イメージしやすいよう切り離したABのコイルをδxだけ離した、という設定をしましたが、力の説明自体はローレンツ力（JXB)を元にしています。(仮想変位によるエネルギーの増減には触れていません)

もっと直接的にコイルAに作用する力(自分自身の作る力＋Bによる力の合成)を計算すると、Aの各ターンに働く電磁力はこれまでの回答にもあるように軸方向には0です。コイルA全体にかかる力は∫0dlを切断面から無限遠まで計算することになり、0X∞となり（数式的には)不定になります。
(#27末尾のボビンにかかる力は何でもいい（無限大のところをどう捉えるかでどうにでもできる？？？）という計算結果になります）
じゃあ、どの値を代表値として採用するかとなると、、
vq100mgさんの書かれている (B^2S)/(2μ)には、通常言われている磁気圧に等しい値という点で合理性があります。
じゃあ、軸方向の応力が0という場合には、となると、
ソレノイド全体の構造材にかかる応力(正しくは構造材に蓄えられる歪みのエネルギーの総量)が最小になる。(構造材のひずみエネルギーは、軸方向の応力を支える分＋ソレノイドの径方向への拡げる力を支える分　なので）という合理性があります。(もうひとつ、無限遠での物理量は0という前提とも整合するのですが、こちらのほうは磁束が無限遠で0になってないので、合理性としては弱いです）
で、私としては、後の方の合理性を採用した、と言うことになります。

環状コイルは側面で支持されるのではないか。
確かに有限長の環状ソレノイドを環の径方向で支持した場合には、ソレノイドは側面で支持されています。が、環の径を無限大にすると、側面の支持力は0になってしまいます。
(数式で追いかけても0になります。
巻き線のソレノイド径方向の力の分布を見ても、ソレノイドの軸に対して対称になるので、側面への力は現れません。
側面の支持力を、ソレノイド内の磁束の不均一、もしくは磁束の曲率に対応して考えるとイメージしやすいかと思います。無限大まで環の径を拡大すると、磁束分布は均一になるし、曲率も0になります。)
ソレノイド横方向の支持力はあくまでも0に近づくだけで、厳格な0ではない、という主張もあるかも知れません。
その場合でも、ソレノイドを横から支持する力は軸方向に対して直角である。もし無限長ソレノイド軸方向に電磁力が作用しているなら、それを支えるための部材の応力が必要になるはず（#29環状ソレノイドを拡張したソレノイドではそのような軸方向の支持部材なしで成立しています）、という問題がおきます。
(で、環状ソレノイドでは、ソレノイド軸方向と環の径方向の支持力の配分を任意に設定できるので、そこから発展させた無限長ソレノイドではボビンの応力が任意になります。(0からB^2S/2μの間だけでなく、それ以外の値（負の圧縮力も含めて）を取りえます)
(上記、単純に積分した結果が不定となる、と整合します。）

この回答へのお礼

＞仮想変位に関して
立場としては「無限長ソレノイドで仮想変位は使いにくい」となりますか。
具体的に、例を挙げてみると、
原点を中心にx軸方向に伸びている無限ソレノイドの生成する磁束(a)を考えてみます。
で、x=0で切り離して、δxだけのばした磁束(b)と比較します。
aもbもx軸方向に無限大まで伸びた磁束です。さて、その差は？？
(bがaをδx伸ばしたもの、というのを知らされずに比較して、差が見えるでしょうか。)
という点です。


確かにいわれてみればそうですね...^^;
仮想変位使えないような気もしてきました。
仮に仮想変位が使えるとしたら下（No.30のお礼）のような解答になるかと思いますが、foobarさんはどう思いますか？

お礼日時：2006/01/04 17:24

No.31 回答者： vq100mg 回答日時： 2006/01/03 16:05

foobar さん、ANo.29 の環状ソレノイドの極限としての無限長ソレノイドの件、次のように思いました。

＞径方向に力を支える環状ソレノイドではソレノイドのボビンには圧縮応力が働きません。この環状ソレノイドの径を無限大にして作った無限長ソレノイドでは、ボビンには応力がはたらきません

これはボビン以外に構造物があるので、磁束の張力がそちらに逃げてボビンにかからないという事で、直線状ソレノイドに添え木をしてあるのと同じだと思います。環状ソレノイドと共に径方向支持物（円盤）を半月状の２物体に分断し、この２物体間の圧縮力を測る図を想像して下さい。これで添え木の力も逃がさず一網打尽に測定できます。そしてその値は磁束張力の２倍となります。

環状ソレノイドの径を無限大にして作ったものを無限長ソレノイドとみなすなら、径方向支持物の有無に関わらず、無限長ソレノイドの力も一意に決定されていると結論できそうに思います。

No.30 回答者： vq100mg 回答日時： 2006/01/03 14:42

leibniz さん、場所を借りお騒がせしてます。

議論の内容なのですが、まさに

＞問題自体は『ギャップ』を考えるというアドバイスでできてしまっています（ANo.28お礼欄）

という手法の可否なのです。foobar さんは「無限長ソレノイド」において「仮想変位法を使うのは適切でない」あるいは、ギャップにかかる電磁力は無限長では例外的に零と解釈すべきだとおっしゃっているのです。安易に　F = 1/2 μ(nI)^2 S　とする事に警鐘を鳴らしてらっしゃるのです。

ところで、leibniz さんは、「単位長さあたりの軸方向の電磁力Ｆを求めよ」の「単位長」の示すものは理解できましたか。私にはわかりません。答えは因みにどうなりましたか。「単位長」あたりこれというような形が得られましたでしょうか。

この回答へのお礼

こちらの教授では仮想変位を使って必要な式を導出していたのでこの方向性でいきたいかと思ってます。

別の観点からも考えるのもいいですがあまり教授の考えにそぐわないのも、解答として書くのはどうかなあと思うからです。

しかし、foobarさんとvq100mgさんが無限長ソレノイドにおいて仮想変位を使えるのかどうかを議論してくださった事は非常に感謝しております。
ありがとうございますm(_ _)m

一応、
単位長さ辺りの全鎖交磁束

　Φ=B(NS)=μ[0]π(r^2)(N^2)I

となるので

単位長さ辺りに蓄えられる磁気エネルギーwは

　w=(1/2)IΦ=(1/2)μ[0]π(r^2)(N^2)I…(1)

となるためここまでは間違ってないはずです。

一方で、vq100mgさんが仰るように

　エネルギー変化はΔw=(1/2)ΦNIΔlだから

軸方向の力は

　F[z]=Δw/Δl=(1/2)ΦNI

　Φ=BS=μ[0]NIπr^2より

F[z]=(1/2)μ[0](N^2)(I^2)π(r^2)…(2)

ここで注目すべき点は(1)、(2)は全く同じなので

w(←単位長さ辺りのエネルギー)=F[z]

よって単位長さ辺りの力F'[z]を出すには

　F'[z]=NＦ[z]

とすればいいのではないでしょうか...？


　

お礼日時：2006/01/04 17:17

No.29 回答者： foobar 回答日時： 2006/01/03 14:06

>＞2)無限長ソレノイドの場合

>＞磁束はどこまで行ってもコイルには引っかからない。
>＞このため、コイルの構造材を圧縮する力は発生しない。
>この説ではゴムひもは実質無いと仰ってる。ところが
あえて言うなら、ゴムひもは効果が出てない（ゴムひもはあるのだけど、コイルにはひっかかっていない)です。
(磁束の力をゴムひもで表現するのは、ちょっと違和感があるのですが）
>＞A単独で働く力を考える場合には、Bを除去する・・・結局有限長コイルの>端部付近で働く力と同じになりますので、僅少とはいえないかと・・
>ここでは、ゴムひもが復活しているように見えます。
切れ目を入れて、端部を作ったために、無限遠ソレノイドでは現れていなかった、ゴムひもの端が引っかかった効果が現れた、という説明でいかがでしょうか。

>「確かにボビンには圧縮力は加わっている」は何を意味するのでしょう。正にそれが磁束の張力であり、
ところが、以前の解答でも書きましたが、無限遠ソレノイドをどう発展させるかによっては、このボビンに圧縮力が働かない場合も出てきます。
（径方向に力を支える環状ソレノイドではソレノイドのボビンには圧縮応力が働きません。この環状ソレノイドの径を無限大にして作った無限長ソレノイドでは、ボビンには応力がはたらきません）
結局、(コイルから分離した)無限長ソレノイドのボビンに働く圧縮力は、（無限長ソレノイドの条件(磁束や直径で）一意に決まるのではない。
したがって、あるケースでボビンに圧縮力が見えてるからといって、それを無限長ソレノイドで一意に決まる力としてみるの無理があるのではないでしょうか。

No.28 回答者： vq100mg 回答日時： 2006/01/03 10:40

foobar さん、ANo.27 についての私の感想は以下の通りです。

＞2)無限長ソレノイドの場合
＞磁束はどこまで行ってもコイルには引っかからない。
＞このため、コイルの構造材を圧縮する力は発生しない。

この説ではゴムひもは実質無いと仰ってる。ところが

＞A単独で働く力を考える場合には、Bを除去する・・・結局有限長コイルの端部付近で働く力と同じになりますので、僅少とはいえないかと・・

ここでは、ゴムひもが復活しているように見えます。

私のポイントは、無限長において圧縮力（ゴムひも）が無いというのであえば、切断端面のローレンツ力のみで議論をしたいという事です。仮想変位かローレンツ力かどちらか一方の解析法を選択したいのです。ANo.25の「排他的に使用」とはそういう意味です。

ゴムひもの有無とそれが何処に繋がれているのかをまず明確にしないと、コイルAの中心（中立点)の導入がもたらす効果が良く判りません。

＞ちょっと有限長ソレノイドの作り方を工夫すると、主張の差異が明確になるかもしれません。

無限長に至る過程のコイルのボビンからの浮上のさせ方、完全に読み取れたつもりです。さらに、
＞「(無限長コイルなので)どこまで行っても、ボビンとコイルは接触していない。確かにボビンには圧縮力は加わっているが、これは無限遠のうやむやの中で発生している力なので、コイル（こちらは応力0）と分離して考えて良い」

も文面自体には何の異論もありません。しかし、意図は不可解です。「確かにボビンには圧縮力は加わっている」は何を意味するのでしょう。正にそれが磁束の張力であり、求めたい対象ではありませんか。ボビンの圧縮力でなくコイルの応力が測定対象なら、有限長ソレノイドでも圧縮力ゼロが観測されてしまいます。また「ウヤムヤの中では圧縮力の起源がない」というのが元来のあなたの説ではありませんか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
とはいえ、ここまで長いレスになるとは思いもせず、問題自体は『ギャップ』を考えるというアドバイスでできてしまっています。
よくわからないところまで議論なされているのどう回答していいのかかなり困ってます...。

お礼日時：2006/01/03 11:34

No.27 回答者： foobar 回答日時： 2006/01/03 08:41

私のイメージは、

1)有限長コイルのばあい
これは#25さんと同じ。ソレノイドの端部で磁束が引っかかって、コイルの構造材を圧縮する。
2)無限長ソレノイドの場合
磁束はどこまで行ってもコイルには引っかからない。
(この部分の取り扱いの差異だと思っています)
このため、コイルの構造材を圧縮する力は発生しない。

「δxの場合、A単独やB単独で働く力（恐らく単独に周回しているゴムひもだと思いますが）、これは僅少です。」
A単独で働く力を考える場合には、Bを除去する(Bに流れている電流を0にする)必要があります。(Bを除去しないと、A単独の力＋AB相互の力の合力になってしまい相殺するので）
Bを除去すると、結局有限長コイルの端部付近で働く力と同じになりますので、僅少とはいえないかと。
で、問題は、コイルAの中心（中立点)より向うではこちら向きの力がくわっているのではないか、のことですがそもそも中立点自体が無限遠に有るので、こちら向きの力の部分にはどうあがいても到達できない、よって考える必要がない、ということになるかと。
(中立点を考えないと、コイルAには無限遠方に向けた力が作用して、それを抑えるものが無いので無限遠に向けてすっ飛んでいく、でコイルBによる力がそれを抑えるというような説明になってしまうので（半無限長のものがすっ飛んでいくというのはさらにイメージしにくいような）。）

ちょっと有限長ソレノイドの作り方を工夫すると、主張の差異が明確になるかもしれません。
1.コイルのボビン(有限長)を用意し、その上に有限長ソレノイドコイルを巻きます。
2.このとき、コイルの端部付近はボビンにしっかり固定します。
3.ソレノイドの中心付近は、ボビンに固定しなくても動きませんのでボビンから浮かせます。（これまでの議論で出ていたように、有限長ソレノイドの機械的な力は端部での電磁力で発生し、中心部では発生してないのでこういう支持でもOKになります）
4.このコイルの端部を無限遠点に持っていきます。
5.すると、「圧縮応力を受けているボビン」と「ボビンから浮いて応力を受けていない巻き線」の二重構造になったコイルができます。

で、vq100mgさんの立場は、「このボビンの圧縮力はもともとソレノイド端部に起因したものだからボビンもコイルの一部と見なすべきである」となるかと思います。
私の立場だと、「(無限長コイルなので)どこまで行っても、ボビンとコイルは接触していない。確かにボビンには圧縮力は加わっているが、これは無限遠のうやむやの中で発生している力なので、コイル（こちらは応力0）と分離して考えて良い」という表現になるかと。

No.26 回答者： endlessriver 回答日時： 2006/01/03 01:00

＃９の応答に対して。

＞B[1],B[2]以外に和のとりようがない気がしますが...。
＞（アンペールの法則の適用でB[1]を出していますが、縦＞方向は微小長さしかとっていないため、ゼロなので省略＞しました）
　縦方向は０でよいのですが、あなたの論理だと、左右？にループもとって同様にB=B[1]+B[2]+B[3]+B[4]+....とどんどん、できませんか？
アンペールの法則は積分路にあるBを対象にしており、積算するものではありません。あと、仮想変位に付いては知らないのですみません。

議論が盛り上がっているところ、本論と関係なく、おじゃましました、すみません。

この回答へのお礼

＞縦方向は０でよいのですが、あなたの論理だと、左右？にループもとって同様にB=B[1]+B[2]+B[3]+B[4]+....とどんどん、できませんか？

ある断面だけ考えているのででてこないと思いますが...。そもそも、アンペアの法則ってそういうもんでは。

それに、現にソレノイド内での磁界は先程のであってますしね。
考え方も教官がいっていたものですし...。

お礼日時：2006/01/03 11:31