(問題)
正三角形の内部に1点Pをとる。Pの辺BC、CA、ABに関する対称点をそれぞれD、E、Fとする。
PD=2x、PE=2y、PF=2zとするとき、
(1)DPEの角度は?
答え 120度
(2)三角形DEFの面積をxyzで表わす。
答え √3(xy+yz+zx)
(3)三角形ABCの一辺の長さをaとし、x+y+zをaで表わす。
答え √3/2 a ← aは分数の真ん中の線の右側にあります。
sin、cos、tanを使えば正解が導かれるような気がするのですが・・・。あと正三角形というところもたぶんポイントのような気がします。また、点Pとは三角形の内部のどの位置になるのでしょうか?質問ばかりで申し訳ないです。
No.5
- 回答日時:
(3)の問題は、はじめてだとすれば難しいかもしれません。
問題の慣れというか、勘というか、そんなものが関係するのかなあと思います。
問題が何を意図するのかを読み解き、そこから論理を展開していく。それ
は難しいし、それだけに論理がつながったときの喜びも大きいんじゃない
でしょうか。
この問題では、
・xが関係するのは△PBCの面積が(ax)/2で表せること?
・んん?同じように、yも△PCAの面積に(ay)/2で、zも△PAB
の面積に(az)/2で出てくるぞ
・△PBC+△PCA+△PABは正三角形全体の面積だから、この
計算でx+y+zらしきものがあるようだ
・そういえば、正三角形全体の面積はaの式で表せるぞ
・おお!これら2つを=で結べば、x+y+z=・・・の式に変形で
きるじゃん。やったね!
という論理の流れがあったわけです。
『数学的勘』ですね。
確かに数学は解けたら面白いですけど、自分1人で解くと、まだなかなかその域には達せそうになく・・・。いつの日になることやら?
1問考えるのに30分は軽~くかかりますからね(>_<)
(こんなに考えるのに当たってない事の方がまだ多いですから、ホント嫌になります。)
この数学部門の方は、一般の方の回答が多く寄せられていますが、日常数学を解いている方々って、ライフワークなのでしょうか。趣味で数学を解いているのでしょうか。普通にクイズを解くような感覚なんでしょうね。たぶん。こちらのサイトに通うようになって、数学好きな人がこんなにいるなんて驚きました!(^^)!
debutさんを始め、皆様に教えていただき、とても感謝しております。教えていただいた皆様にポイントを差し上げたいのですが、そうできないのがいつも残念です。
No.4
- 回答日時:
>△ABC面積ですが、・・・
高さは、30゜、60゜、90゜の直角三角形の辺の比1:2:√3から
求めます。
正三角形を頂点Aから下ろした垂線(高さの線)で2つに分けたとき、
左側の直角三角形を見ると、斜辺がaとなっていますね。
これは上記の三角形の比で2の部分になります。
また、高さをAM(点Gとは違う位置にあるのでMとします)とする
とこれは上記の三角形の比で√3の部分になります。
したがって、 a:AM=2:√3 となり、
[比(a:b=c:d)ではb×c=a×dが成り立つので]
2×AM=(√3)×a
AM=(√3/2)a
と求められます。
わからないことはどんどん聞いた方がいいです。
この回答への補足
はい!お言葉に甘えて、どんどん聞いてまいりますので宜しくお願い致します(笑)。
△ABCの高さはAGとは置かないのですね。
(点Mですか?確かに言われてみれば、PDが△ABCと交わる交点がGですから、必ずしも頂点Aから垂直に降ろした点ではないわけですよね。)
[比(a:b=c:d)ではb×c=a×dが成り立つので]←この比、忘れてました(^_^;)こういうの確かにありました・・・。
今回の問題は3問ありましたが、(1)→角度、(2)→面積と何を求めればいいのか、はっきりしていましたが、(3)は問題を読んでも、“何を求めればいいのか?”からよく分かりませんでした。結局「△ABCの面積をaとx+y+zであらわせ」と言いたかったんですね。でも、もしこう問題が書いてあっても、どう手をつけてよいか分からなかったと思います。
数学って、難しいです・・・。
No.3
- 回答日時:
こんばんは。
>PG=x、PH=y、PI=zになるのは何故ですか?
>自分で△を描いてみたのですが、PG=PD、・・・と見え、
ここに図がかければ一発なのに、すごくもどかしいです。
例えば、点Pと点Dは線分BCについて対称になっていますよね。
P・
B―――――C
D・
のようにです。そして、このPとDを結んだ線とBCとの交点をGと
したわけですから、PG=DG、つまり、PGはPDの半分の長さに
なっているはずです。だから、PG=xとなるわけです。
他も同様です。
全体の図は次のようになっているでしょうか?
A・
/ \
・F / \ ・E
/ P・ \
/ \
B―――――――――C
D・
この回答への補足
あ~、こうなるんですか?△ABCは。debutさん、三角形の図、上手ですね♪
私の図は、線BCの上にD点をとって描いていました。対称点だから、2xの半分ということで、PG=xなのですね。解りました!
あの・・・、もうひとつ伺いたいのですがよろしいですか?
△ABC面積ですが、高さAGはどのようにして求めるのでしょうか?三角形の三角比で左側角度60度の図を見ているのですが、高さ√3がどのように変形しているのですか?すみません。初歩的な質問で(^_^;)。
「聞かぬは一生の恥!」と思い、思い切って聞きます!宜しくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
PD,PE,PFが△ABCの辺と交わる点をそれぞれG,H,Iとします。
(対称点なので、PD,PE,PFは△ABCの辺とは垂直)
(1)四角形PGCHで∠Cは60°なので・・・
(2)例えば△PDEの面積は
公式、1/2×(2つの辺の長さの積)×sin(2つの辺の挟む角の角度)
より、(1/2)×PD×PE×sin120°。
△PEF、△PDFも同様にして求め、3つの合計で△DEF。
(3)1辺aの正三角形の面積 ・・(ア)
△PBCを底辺BC(=a)、高さPG(=x)として
△PCAを底辺AC(=a)、高さPH(=y)として
△PABを底辺AB(=a)、高さPI(=z)として、3つを合計・・(イ)
(ア)=(イ)より・・・・
この回答への補足
こんばんは。
お返事が遅くなり、申し訳ありませんでした。
(3)について、解らないところがありますので、教えて下さい。
高さがそれぞれ、PG=x、PH=y、PI=zになるのは何故ですか?
※自分で△を描いてみたのですが、PG=PD、・・・と見え、PD=2x、PE=2y、PF=2zなので、2x、2y、2zを使うのでは?と考えました。
No.1
- 回答日時:
(1)PDとBCの交点をG、PEとCAの交点をHとすれば、
四角形PGCHのうち、他の三つの角の角度が分かっているので360°から引きます。
ついでにいうと、同様に∠DPF=∠EPF=120°
(2)△DEF=△PDE+△PEF+△PFD
2辺とその挟む角が分かっているので、
あとは(1/2)*PE*PD*cos(120°)とかを使えば求まります。
(3)△ABC=△PAB+△PBC+△PCA
△ABCは底辺a、高さ(√3)a / 2の三角形。
△PBCは底辺a、高さxの三角形などなど。
これでx+y+zが求まるはずです。
あと。。。
>点Pとは三角形の内部のどの位置になるのでしょうか?
三角形の内部ならどの位置でも有り得ますよ。
確かにx+y+zなどの値は決まってはいますが、xの値など個別に求まることはありません。
この回答への補足
こんばんは。
お返事が遅くなり、申し訳ありませんでした。
(3)について、解らない点がありますので、教えて下さい。
(1)と(2)は解りました。
※(2)の三角形の面積を求める式は
cos(120)ではなく、sin(120)ですよね?
sin(120)で計算しました。
(3)なのですが、
・△ABCの高さ、(√3)a/2 は、どのようにして計算されたのですか?
・△PBCの高さはxとなっておりますが、これはどうしてxなのですか?
自分で三角形を描いて確認してみました。PD=2xなので、2xで計算するのでは・・・?と考えました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 三角形ABCの辺BCを4 : 3に内分する点をTとし、点Tを接点として辺BCに接する円が点Aで直線A 3 2023/02/12 21:03
- 数学 AB=2,BC=3,∠ABC=60°の三角形がある。 点Aから辺BCに垂線を下ろし辺BCとの交点をD 4 2023/02/02 15:55
- 数学 【数学の図形の名称と面積の計算方法】正三角形と扇形があります。正三角形の2辺を伸ばす 9 2023/02/06 23:30
- 数学 数学の質問です。 △ABCにおいて, ∠Aの二等分線が BC と交わる点をRとする。 辺BC, CA 2 2023/07/13 23:58
- 数学 角度当てクイズVol.225の解き方おしえてください 1 2023/06/23 17:45
- 数学 右の図で、BCの長さを四捨五入して、 小数第1位まで求めなさい。 図は三角形ABCで、∠Aが50度、 3 2022/07/28 01:17
- 数学 数学の質問です。 abcはそれぞれ三角形の一辺である。 a²+b²+c²−ab-bc−ca=0が成り 4 2022/10/29 12:57
- 数学 画像の中学2年生の数学の問題について教えていただきたいです。 三角形ADCが二等辺三角形であることと 2 2023/01/29 16:14
- 数学 問題文 正n角形がある(nは3以上の整数)。この正n角形のn個の頂点のうちの3個を頂点とする三角形に 4 2023/03/22 14:57
- 数学 数学の質問です。 円に内接する四角形ABCD において, AB=2, BC = 1, CD = 3, 3 2023/04/18 18:28
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
2直角や3直角とは何ですか?
-
底辺6cmの直角三角形があります...
-
小6の算数の問題です。
-
生活保護って底辺なんですか? ...
-
小学校5年生の算数の問題
-
小学4年生の宿題なのですが
-
三角形や多角形の内角の和は算...
-
動く点の問題
-
上底150mm 下底410mm 高さ920mm...
-
四角錐を途中で円形に切ったら?
-
三角比・タンジェント
-
三角形の面積の公式の順序について
-
会社で底辺中の底辺と言われた...
-
三角形の面積の求め方でヘロン...
-
中3、相似の問題です。 相似な...
-
台形ABHGとか三角形AHGの面積の...
-
不等辺三角形の頂角と高さと底...
-
正n角形の面積
-
二等辺三角形の底辺の長さを弦...
-
図形
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
2直角や3直角とは何ですか?
-
底辺6cmの直角三角形があります...
-
生活保護って底辺なんですか? ...
-
四角錐台の折り曲げ角度の求め方
-
三角スケールの計り方がわかり...
-
小学6年生で三角形の面積求め...
-
直角三角形の角度と辺の長さを...
-
上底150mm 下底410mm 高さ920mm...
-
長方形に対角線をひいた時にで...
-
なぜ長方形はたて×よこなの?
-
直角二等辺三角形についてです...
-
三角形の面積の公式の順序について
-
(2)の解き方を教えて欲しいです
-
4本の辺の長さだけが分かってい...
-
時間と角度
-
小6の算数の問題です。
-
数学で三角形の求め方がわかり...
-
不等辺三角形の頂角と高さと底...
-
場合の数について
-
二等辺三角形の高さの求め方
おすすめ情報