留数の計算

留数を勉強してるのですが
求め方がどうもよくわかりません。
例えば
1/(1+z^4)の留数は1+z^4がゼロになるzが留数になる可能性があるのは
わかるんですが
なぜe^(πi/4)とe^(3πi/4)だけが留数になるのかが
よくわかりません。
あと、x^2/(x^4+5x^2+6)やf(x)cos(Θ)/g(x)の形をした
問題もどうやって留数を求めたらよいのかわかりません。
テキストにはローラン展開がどうのこうのとありますが
ローラン展開じたいのやり方は書かれておらず
ローラン展開するとどういう形になるかだけ示されていて
ローラン展開ってどうやるんだ？と言う状態です。
わかりやすく説明してくださるとありがたいです。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2002/01/25 23:39

複素関数論の話のようですね．

文章を見まして，留数という言葉の使い方がちょっと気になっています．
極，留数のあたりの言葉の正確な意味は大丈夫でしょうか？

1/(1+z^4)の極は
z = e^(πi/4)，e^(3πi/4)，e^(5πi/4)，e^(7πi/4)
です．
(留数が e^(πi/4)，e^(3πi/4)，... とは言いません．
そこら辺が上で心配したことです．)
最初の２つだけというのは，
例えば閉じた複素積分路が複素平面の上半面の半円状になっていて，
積分路内の極が e^(πi/4)，e^(3πi/4) の２つ，
というようなことではないのですか？
コーシーの留数定理では積分路外の極は関係がありません．

> ローラン展開じたいのやり方は書かれておらず
> ローラン展開するとどういう形になるかだけ示されていて
ここでは良い図も描けませんし，式も書きにくいですし，スペースも限られています．
あなたの持っているテキストにはローラン展開自体のやり方は書かれていないのかも
知れませんが，
それが書かれたテキストはたくさんあります．
図書館等で適当なテキスト探されるようおすすめします．
結局はそれが理解の早道と思います．

この回答への補足

>1/(1+z^4)の極は
>z = e^(πi/4)，e^(3πi/4)，e^(5πi/4)，e^(7πi/4)
>です．

すみません、間違いがあったようですね。
そのとおりです。
すみません。

>例えば閉じた複素積分路が複素平面の上半面の半円状になっていて，
>積分路内の極が e^(πi/4)，e^(3πi/4) の２つ，
>というようなことではないのですか？
>コーシーの留数定理では積分路外の極は関係がありません

半径Rの上半面の半円状の閉区間でないなら
他の2つの極も含まれるんですよね？
すると∫(-∞～∞)P(x)/Q(x)dxを考えた場合(R(x)=P(x)/Q(x))
テキストでは
∫(-∞～∞)R(x)dx=lim(R→∞)∫(-R～R)R(x)dx=2πiΣ(z0∈H)Res(R(z),z0)
(H:円の上半面)
とあったんですが
2πiΣ(z0∈H)Res(R(z),z0)
が下半面を含んだ円Gの場合
2πiΣ(z0∈G)Res(R(z),z0)
となり取る平面によって値が変わってくることになりますが
これはこれでいいのでしょうか？

補足日時：2002/01/25 23:59

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2002/01/26 01:01

> 半径Rの上半面の半円状の閉区間でないなら

> 他の2つの極も含まれるんですよね？
閉じた積分路の中にある極だけが問題ですので，積分路の形によります．
例えば，半径が１より大きい全円が積分路でしたら，
４つとも極が入ります．

> テキストでは ....
> ・・・・・・・・・・
> これはこれでいいのでしょうか？

式としてはＯＫですが，
(1)　　∫(-∞～∞)R(x)dx
との直接の関連はなくなります．
上半面の半円ですと，積分の方は，
(2)　　(実軸に沿った部分からの寄与，すなわち(1))
(3)　　　　＋ (半径Ｒの半円部分からの寄与)
です．(3)がうまくわかれば(うまくいく場合は，ゼロのことが多い)，
(4)　　2πiΣ(z0∈H)Res(R(z),z0)
が (2)＋(3) なのですから，(2)すなわち(1)が求められます．

もし，積分路を完全な円にしてしまうと，
(2)＋(3) のところが，半径Ｒの全円からの寄与になってしまって，
(2)があらわれず，(1)と結びつけることができなくなってしまいます．