積分の知識を失って早や数年、どなたか以下の面積の求め方を教えてください。

円:原点Oを中心とする、半径aの円
直線:X=k(-a<=k<=a)

この直線によって切り取られる円の左側の面積Sをkであらわしたいんです。
よろしくお願いいたします。

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A 回答 (2件)

積分で解くのでしたら、以下のように解けばよいのではないでしょうか?文だけ読んでも解りにくいので、紙に書き出してみて下さい。

図も描いてみて下さい。

まず、円は原点中心、半径aの円なので、X軸よりも上側の円周は、次の式で表されます。
x^2+y^2=a^2 移項してyについて解くと y=√(a^2-x^2) (今はx軸の上側だけ考えているので『±』は付けません)

よって,面積Sを求める積分の式は
S=2∫(-a~k){√(a^2-x^2)}dx   ・・・(1) (-aが下で,kが上です) (ただの積分だと上だけ求めて終わりになってしまうので、2倍します)

ここで、置換積分をします。x=a・cosθ ・・・(2) と置いて,すべてをθで表すと、
√(a^2-x^2)=√(a^2-a^2・cos^2θ)=a・sinθ (sin^2θ=1-cos^2θより)
x=-aのとき,-a=a・cosθより, θ=π 
x=k のとき,k=a・cosθより, θ=arccosθ(k/a) (cosの逆関数)
(2)の両辺をθで微分すると,dx/dθ=-a・sinθ  よって,dx=-a・sinθ・dθ

以上より、(1)式は、次のように変形できます。

S=2∫(π~arccos(k/a))a・sinθ(-a・sinθ・dθ)
=-2a^2∫(π~arccos(k/a))(sinθ)^2dθ
=-a^2∫(π~arccos(k/a))(1-cos2θ)dθ  (cos2θ=1-2(sin2θ)^より)
=a^2[θ-(1/2)sin2θ](arccos(k/a)~π)  (-を消して積分区間を逆転)
=π・a^2-a^2・arccos(k/a)+(1/2)a^2・sin{2・arccos(k/a)}
=π・a^2-a^2・arccos(k/a)+k√(a^2-k^2)  

※ (1/2)a^2・sin{2・arccos(k/a)} は,a=a、頂角=2・arccos(k/a)の二等辺三角形の面積を表しています。
要は、円にx=kの直線を引いて,その交点(P、Qとおく)と原点Oを結んだときの二等辺三角形OPQ。
三平方の定理でPQの距離を求めると底辺PQ=2・√(a^2-k^2),高さは k です。
よってΔOPQ=(1/2)・k・2・√(a^2-k^2)=k√(a^2-k^2)

nagataさんの考え方は正しいと思いますが、扇形の面積は 2・π・a^2・{arccos(k/a)/2π}=a^2・arccos(k/a) です。
たぶん,(中心角/360度)のところで,360度=πとしてしまったミスなのでは・・・。360度=2πなので、こうなると思います。

あと、-a≦k≦0のときも、nagataさんの式は成り立ちます。kがマイナスだと、円の左側の面積=円ー扇形ー三角形 になりますが,
S=a^2・π-2a^2・arccos(k/a)+k√(a^2-k^2) の式で +k√(a^2-k^2) の部分は符号が(-)になるので,結局引いてるここと同じになります。

長々と申し訳ありませんでした。
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この回答へのお礼

丁寧な解答を頂き誠に有難うございました。助かりました。

お礼日時:2002/02/01 10:57

0<k<=aの時


円の左側の面積=円ー右側の面積
円の左側の面積=円ー(扇形ー三角形)
円の左側の面積=円ー扇形+三角形
S=a^2・π-2a^2・arccos(k/a)+k√(a^2-k^2)
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Q円と直線が囲む面積の積分(確率)

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x≧0, y≧0なので, 

y=√(4-x^2)
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の2式に囲まれる面積Sを「半径2の円を4等分した面積」(=π)で割った値になると考えました。
2式から2つの交点を求めれば,

S=∫{√(4-x^2)- (-x+√6)}dx

というふうにSを求められるかと思います。ところが、この後の導出が分かりません。

この場合、円座標系に置換しても複雑になるだけですよね?
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それとも、もっと簡単な計算方法があるのでしょうか?

アドバイスよろしくおねがいします。

Aベストアンサー

もっと簡単な計算方法があるのでしょうか?

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60°半径2の扇形から一辺が2の正三角形を除いた部分)になります。

Q円の面積なんですが

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微分積分を使ってたような気がするんですが。。

例えば
まずX軸Y軸があります。
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この円を縦に分割するような直線があります。
この直線は中心から3cm右にあります(Y軸と平行です)

この直線で円は右と左に分割されますが、
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積分より三角関数を使った方が楽かも。

円の中心をO,円と直線の交点でyがプラスの方をA、直線とx軸との交点をB(座標は(3,0))とします。
また、円とx軸との正の交点をPとします。
ここで、∠AOC=θとします。

△AOBで、AO=10,OB=3なので
三平方の定理から
AB=√(100-9)=√91
よって、sinθ =√91/10から
△AOBの面積 = (1/2)*10*3*√91/10 =(3√91)/20
扇形AOPの面積={100π*Arcsin(√91/10)}/360
=5π*Arcsin(√91/10)/18

あとは
右側(小さい方)
=(ABPで囲まれた面積)*2
=(扇形AOP-△AOB)*2

左側(大きい方)
=円-右側 = 100π -(扇形AOP-△AOB)*2

で計算できます。

※Arcsin は sinの逆関数で、ExcelのASIN関数で計算できます。(ただし、度単位ではなくラジアン単位なので注意してください)
Arcsin(√91/10) を計算すると約72.5°となりました。

積分より三角関数を使った方が楽かも。

円の中心をO,円と直線の交点でyがプラスの方をA、直線とx軸との交点をB(座標は(3,0))とします。
また、円とx軸との正の交点をPとします。
ここで、∠AOC=θとします。

△AOBで、AO=10,OB=3なので
三平方の定理から
AB=√(100-9)=√91
よって、sinθ =√91/10から
△AOBの面積 = (1/2)*10*3*√91/10 =(3√91)/20
扇形AOPの面積={100π*Arcsin(√91/10)}/360
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Q円の切れ端の面積の計算方法を教えてください

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Q円の途中で切った面積の出し方教えて下さい

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そこで切られた面積を求めたいのですが。
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http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Himawari/4171/gif/kim.jpg
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切り口の弦の両端と中心を結ぶ直線と、切り取られた部分の円弧から成る扇形の
面積から、切り口の弦とその両端から中心への直線から成る三角形の面積を引け
ば出てきます。

中心をO、弦の両端をそれぞれA,B、中心から弦に引いた垂線と弦の交点をM、
その延長が円弧と交わる点をCとおき、求める面積をSとします。
OAとOBの長さは半径と等しいので250mm、MCの長さは題意より200mmなので
OCの長さは50mmです。

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扇形OCBの面積は、250^2×π×(θ/360)ですから、扇形OABの面積は
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よって三角形OABの面積は50×200√6×0.5=5000√6 ・・・(3)

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さて、(1)からθは約78.46度ですので、
 S≒125000×3.1416×0.2179 - 5000×2.4495
  =85569.33 - 12247.5
  =73321.83

よって、S=73321.83です。単位は平方ミリです。

切り口の弦の両端と中心を結ぶ直線と、切り取られた部分の円弧から成る扇形の
面積から、切り口の弦とその両端から中心への直線から成る三角形の面積を引け
ば出てきます。

中心をO、弦の両端をそれぞれA,B、中心から弦に引いた垂線と弦の交点をM、
その延長が円弧と交わる点をCとおき、求める面積をSとします。
OAとOBの長さは半径と等しいので250mm、MCの長さは題意より200mmなので
OCの長さは50mmです。

扇形OCBの中心角をθとすると、cosθ=50/250=1/5になります。・・・(1)

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Q円と線で囲まれた部分の面積

久しく数学から離れていて忘れてしまったのですが
円の上を線が横切っていて、それで囲まれた部分の面積を求めたいのです。うまく説明できないですが積分で計算できた気がするのですが…(自信は全くありません)
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Aベストアンサー

質問者の例の場合なら、

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Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

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(例)
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また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
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データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

Q弓形の面積を、C:弓形底辺 h:弓形高さ から求めたい

底辺C・高さhの弓形があります。
面積を求めるのに、webで調べたところ
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また、とある計算書で、面積=C×h×(2/3)として計算してありましたが
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関数電卓が使えることを前提に書きます。(Windowsならアクセサリーの電卓使ってください)
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で求まります。また、これが分かれば
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Q円を直線で分割すると・・・?

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では、直線が3本の場合は、最大何分割できますか?
また、直線が6本の場合は、最大何分割できますか?
教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1本の時=2分割
2本の時=4分割
3本の時=7分割
4本の時=11分割
5本の時=16分割
6本の時=22分割
7本の時=29分割
8本の時=37分割
9本の時=46分割

直線の数をNとします
N本の線で分割できる最大の数をF(N)とすると

F(0)=1
F(N)=F(N-1)+N

だと思いますよ
線を追加する際に
他の線と必ず交差して
尚且つ既存の交点を通過しない様にすれば
最大の数になる様な気がします
ですからこの様に線を追加すれば
分割した数は「既存の線の数+1」増える

因みに
100本の時=5051分割
1000本の時=500501分割
10000本の時=50005001分割

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以上であっていると思いますが
もし間違いがあればご指摘下さい

Q公務員に向いている学部は?

現在高校3年の女子です。今まで将来の事をあまり考えずに
興味が湧いたからというだけで慶應と早稲田の文学部を志望してたのですが、
改めて将来のことを考えると、結婚する気がなく、できれば生涯働きたいと思っているので
公務員を目指してみようかなという気持ちが出てきました。
そこで公務員試験について調べたら、経済や法律からの出題が多いようなので、
志望学部を変えようかなと思い始めました。
こういった観点から考えると、経済学部と法学部だったらどちらの方がよいのでしょうか?
親に相談したら、「お前はやりたくないことに向けて努力できる性格じゃないから興味のある学部にした方がいい」と言われてしまいましたが…
この時期に学部に迷ってるというのはあまりいい事ではないと思うので、
なにかいいアドバイスがあったらお願いします。

Aベストアンサー

 「公務員」というのは役所に勤める行政職ですよね?
でしたら、よく有利と言われるのは、仰るとおり、法学部と経済学部です。が、この2学部において公務員試験受験に当たってどちらが有利かといえば、どちらも大差ないです。ただ、経済学部は数学を使う場合があるのでその点は考慮する必要があるでしょう。意外に見落としがちなのですが。(また、以前こちらで見かけた回答では「法学部」の方を薦めている方もいらっしゃいました。一つの考えということでご紹介しておきます。その方は、民法の勉強が大変だったそうです)法律か経済か、興味のあるほうでよいでしょう。邪道ですが、単に公務員を目指すのならば、入試段階で入りやすいほうの学部でも良いのかもしれません。

 それから、ひとつ注意点を。
 お調べになったとおり、行政職の公務員採用試験、特に「専門試験」と言われる物は法学や経済学、政治学といった分野からの出題が圧倒的です。なので、「とっかかりやすさ」で言えば、法学部や経済学部の方が有利なわけです。しかし、「とっかかりやすさ」はあるにしても、大学の講義がそのまま採用試験に結びつくか、というと必ずしもそうではないそうです。公務員試験の受験者は公務員試験用の予備校に通う場合が多いです。

 なので、もし文学部の方に興味があるのならば、文学部へ進学した方が良いでしょう。文学部から公務員になる人も多いです。No1の回答者の方のお話の通り、4年間も勉強するわけですから、自分がより興味のある方を選択するのが良いと思います。

 以上です。何か疑問点あれば補足してください。

 「公務員」というのは役所に勤める行政職ですよね?
でしたら、よく有利と言われるのは、仰るとおり、法学部と経済学部です。が、この2学部において公務員試験受験に当たってどちらが有利かといえば、どちらも大差ないです。ただ、経済学部は数学を使う場合があるのでその点は考慮する必要があるでしょう。意外に見落としがちなのですが。(また、以前こちらで見かけた回答では「法学部」の方を薦めている方もいらっしゃいました。一つの考えということでご紹介しておきます。その方は、民法の勉強が大変だっ...続きを読む

Q球を任意の平面で切ったときの体積

質問させてください。

半径:r の球があり、
それを任意の平面で切ったとき、
底面(切り口)からの高さをHとします。

その切り取られた部分の体積Vを求める公式が、
V=(π/3)×H^2×(3r-H)
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公式をみてもなぜそうなるかが全くわかりません。
わかる方おられましたらぜひご教授ください。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

図より、高さxにおける断面積は{r^2-(r-x)^2}*πとなるので、
積分範囲0~Hでxについて積分すればよい。

∫{r^2-(r-x)^2}×π dx
=∫(2rH-H^2)×π dx
=πrx^2-πx^3/3
=(π/3)×H^2×(3r-H)


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