|A|=m,|B|=n(m<_n)のときの単射f:A→Bの総数を求めよ

この考え方もわかりません どなたか教えてください

A 回答 (3件)

>どうしてf(a(m))の取りうる値はn-m+1通り なのですか?


単写、という言葉の意味は分かりますよね?念のため書きますが
 a≠bならばf(a)≠f(b)
という意味です。

f(a(1))のとりうる値の種類はBの要素数のn個です。
f(a(2))のとりうる値の種類は集合Bからf(a(1))の値として選んだ値を除いた集合の個数であるn-1個です。
f(a(3))のとりうる値の種類は「集合Bからf(a(1))の値として選んだ値を除いた集合」から(a(2))の値として選んだ値を除いた集合の個数である(n-1)-1=n-2個です。
f(a(3))のとりうる値の種類は…

ということをa(m)まで繰り返していけば、a(m)のとりうる値の種類がn-m+1個になることが分かります。

なお、上の「…」で省略した部分が分からない、といわれても、私にはそこをやっていく根気はありません。
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  これは単射の問題なので、そのまま考えます。m<=nというのが条件だと理解します。
 
  Bの要素のなかで、n-m個が、写像とは関係のない、対応要素のない要素になります。従って、これを排除して考えるのがよいことになります。こういうn-m要素を外した、Bの部分集合の異なる可能性の数は、nから任意にn-m個の要素を選ぶ組み合わせです。これは、nCn-mです。具体的には、n(n-1)(n-2)……(n-m+1)/m!=nPn-m/m!=rです。(rは適当な文字です)。
 
  要素が違うr個の集合があるということになり、濃度は、Aと同じです。
 
  このr個の集合のそれぞれに対し,Aからの単射があることになります。その単射の組み合わせ数は、m!となります。
 
  先のr個の集合は、みな異なる集合です。何故なら、どれも、最低、一個の要素が食い違っているからです。つまり、仮にBから、{a,b}要素と{a,c}要素を除いた二つの集合を考えると、先にはcがあるがbがなく、後は、bはあるがcがないという風に違った集合です。
 
  r個の集合をBrと表現すると(r=1,2,3……)、A→Brの単射は、いかなる組み合わせを造っても、同じものはないということになります。何故なら、Brは、rが違えば、それぞれ別の集合だからです。
 
  一般に別個のm個の要素からなる集合から、同じように、別個のm個の集合への単射の数は、すでに上でも述べたように、m!です。従って、Aに対するBrの数をかければ、これが、問題の答えです。すなわち、(nCn-m)X(m!)です。ところで、nCn-m というのは、nPn-m/m!です。これにm!をかけるのですから、答えは、nPn-m です。
 
  回答: nP(n-m)
 
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http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=209227
のほうでも書きましたが、|A|はAの要素数という意味でしょうか?
ここではそうだと解釈します。

A={a(1),a(2),…,a(m)}とします。すると、fは単車なので、
 f(a(1))の取りうる値はn通り、
 f(a(2))の取りうる値はn-1通り、
  …
 f(a(m))の取りうる値はn-m+1通り、
となります。これを掛け合わせると、
 n*(n-1)*…*(n-m+1)={n*(n-1)*…*1}/{(n-m)*(n-m-1)*…*1}
          =n!/(n-m)!
          =nP(n-m)
となります(ただし、nP(n-m)のnおよびn-mは下添字)。

この回答への補足

どうしてf(a(m))の取りうる値はn-m+1通り なのですか?

補足日時:2002/01/31 23:25
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>とりあえず、思いついたのは、numberでした。
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>numberは「個数」というよりも「番号」という意味であるような気がしてなりません。
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幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2≧0

∴|a-b|≧|b|-|a|



なお、|a||b|-(a1b1+a2b2)≧0 は、
内積 a・b=a1b1+a2a2=|a||b|cosθ≦|a||b|
からでも証明可能です。

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
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ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
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