図形の問題が・・・（中学３年生）

Question

また、図形でわからない問題が出てきました。
ある一部分だけ、どうしてもわからなくて
答えが導き出せません。
解答の過程になるのですが
誰か、教えてください。

（問題）
三角すいV-ABCの１辺VAを1：2に分ける点A'を通り
平面VBCに平行な平面でこの三角すいを切り
2つの立体に分けた。立体AA'B'C'の体積を96（立方センチメートル）
とするとき、立体A'B'C'-VBCの体積を求めよ。

（解答）
三角すいA-A’B’C'と三角すいA-VBCは相似で
相似比は、2：（2+1）＝2：3である。
相似比を利用すると、立体A'B'C’-VBCの体積は
96×（（2分の３）の2乗ー1）＝96×8分の19＝228（立方センチメートル）

※ここで、ほとんど理解できるのですが
（　）の中の、－１というところがわかりません。
面積比から、どうして１を引くのでしょうか？
この１というのが
どこから出てきたのかだけでもいいので
誰か教えてもらえないでしょうか？
よろしくお願いします。

hestia · Accepted Answer

今夜は修士論文追い込みモード（徹夜モード）の家庭教師のお兄さんです(--;;
#昼間の件では一番乗りのつもりで書き込んでいたら、私の元へ遊びに来た後輩と
#話しこんでしまって、実際に書き込むと７番だったのには驚きました（笑）
#nyankomamaさんの質問の仕方が具体的でわかりやすいので
#みなさん答えやすいんですよね、きっと。
#今回は３番目かな？

> 三角すいA-A’B’C'と三角すいA-VBCは相似で 
> 相似比は、2：（2+1）＝2：3である。 
> 相似比を利用すると、立体A'B'C’-VBCの体積は 
> 96×（（2分の３）の2乗ー1）＝96×8分の19＝228（立方センチメートル） 

ちょっと考え込んでしまいましたがこれって
９６×｛(２分の３)の３乗－１｝ですよね。
相似な図形の場合，「面積比は線分比の２乗、体積比は線分比の３乗」になります。
ＡＡ'：Ａ'Ｖ＝２：１
ＡＡ'：ＡＶ＝ＡＡ'：（ＡＡ'＋Ａ'Ｖ）
　　　　　　＝２：（２＋１）
　　　　　　＝２：３
で、この３乗が８：２７になるわけですが、
これで三角錐Ａ－Ａ'Ｂ'Ｃ'×（８分の２７）をしてしまうと
出てくるものは「三角錐Ａ－ＶＢＣの体積」になってしまい、
「三角錐Ａ－Ａ'Ｂ'Ｃ'一個分」を余計に持ってしまいますね。
そこでこの「一個分」を引いたわけです。
　（三角錐Ａ－Ａ'Ｂ'Ｃ'）×（８分の２７）－（三角錐Ａ－Ａ'Ｂ'Ｃ'）
＝（三角錐Ａ－Ａ'Ｂ'Ｃ'）×（８分の２７－１）
＝（三角錐Ａ－Ａ'Ｂ'Ｃ'）×（８分の１９）
となったわけです。
ただし、別にこういう計算の仕方しか正解ではない！というわけではありません。
もちろん、上の３行のうちの１行目を計算して
　９６×（８分の２７）－９６
＝１２×２７－９６
＝３２４－９６
＝２２８
でも答えが出るわけです。私が家庭教師で生徒を教えるときは１行目のやり方で
教えます。図形問題が上手になってきて生徒に余裕が見られてくるようになったら
３行目のような計算の工夫の仕方も教えています。

本当はこういう「工夫の仕方」やいわゆる「テクニック」については
いろいろ書きたいことがあるのですが本意からそれてしまうので
ここでは書きません。受験本番まで間近ですね！
ちなみに私の最後の生徒は３日前、私立高校に合格することができました。
nyankomamaさんもお体に気をつけてがんばってください！

muni2 · Answer

ニャン子ママさんこんにちは。昨日の発展問題をやってみましたか？
　では、図形の相似を掃除しましょう。（さぶ～）

　三角形の平面から。
　三角形ABCをかいてください。それと同じ（合同）三角形を8個かいて合計9個の三角形で大きい三角形をつくります。それが準備です。
　「１：２の相似の三角形」といわれたらどこに着目しますか？１：２の相似ということは1辺が2倍になった三角形ということですから、面積は4倍（三角が4個分）になってますね？
　
　＊「相似」と出題されたとき、1辺が2倍になっていたら面積は4倍になる。（←重要！）
　
　「１：３の相似」なら9個の三角形に注目してね！1辺が3倍になっていて面積は9倍になってますね？
　
　＊「相似」と出題されたとき、1辺が３倍になっていたら面積は９倍になる。（←重要！）
　
　　＊1辺が＠倍になっていたら、面積が＠の2乗になっていることに気づいたかな？（←最重要！！）

　前の正四角すいの底面を思い出してね。小さい四角と大きい四角は１：２の相似で、1辺が2倍で面積が4倍（つまり２の2乗倍）だったね。

　ここから立体です。
　三角すいの体積の求め方は「底面積×高さ×3分の１」でしたね。
　「１：２の相似」のとき。さっきやったように面積は２の2乗で4倍ですね、高さは2倍（←絵に描くと高さが2倍になってることがわかります）、×3分の１。これで三角すいの体積はできました。
　「２：３の相似」のときは（これが分からなくての質問でしたね）。1辺が2分の３倍だから面積は4分の９（2分の３の2乗）ですね。いまここで（＠。＠）となったら、三角を9個かいて作った大きい三角までもどってね。
　面積（2分の３の2乗）×高さ２分の3倍×3分の１＝２分の３の３乗×3分の１。
　
　＊「相似」と出題されたとき、1辺が2倍になっていたら体積は8倍になる。（←重要！）
　
　＊1辺が＠倍になっていたら、面積が＠の３乗になっていることに気づいたかな？
（←最重要！！）

　これが理解できればどんな問題もこの延長です。「相似」に気が付けば全部できます。では、がんばってください。（＾＾）/~~

hinebot · Answer

すでに3人の方から"－1"については回答されてますので、
ちょっと蛇足的なアドバイスを。

>三角すいV-ABCの１辺VAを1：2に分ける点A'を通り 
>平面VBCに平行な平面でこの三角すいを切り 
>2つの立体に分けた。立体AA'B'C'の体積を96（立方センチメートル） 
>とするとき
とありますが、B',C'って？
多分、「点A'を通り平面VBCに平行な平面」とAB,ACとの交点をそれぞれB',C'とする、ってことですよね。

さて、△VABと△A'AB'について考えます。
∠VAB＝∠A'AB’（共通）
A'B'//VBから、∠AVB＝∠AA'B'（同位角）
2角が等しいから、△VAB∽△A'AB'　となります。
同様に△VAC∽△A'AC'、△ABC∽△AB'C'が言えます。
AV：AA'＝3：2ですから、△VABと△A'AB'、△VACと△A'AC'の相似比が
3：2になるのは良いですね。
するとAB：AB'＝3：2になるので、△ABCと△AB'C'の相似比も3：2です。

これらから、A'B'：VB＝A'C'：VC＝B'C'：BC＝3：2となり、
３辺の比がそれぞれ等しいので、△VBC∽△A'B'C'となります。

4面すべて、相似になるので、立体　V-ABCとA'-AB'C'も相似となる訳です。

（完全に余談でしたね。）

mat_mat · Answer

既に30近い会社員です。
中学生の問題、久しぶりに解いてみようと思ってお答えいたします。

＞（解答） 
＞三角すいA-A’B’C'と三角すいA-VBCは相似で 
＞相似比は、2：（2+1）＝2：3である。 
＞相似比を利用すると、立体A'B'C’-VBCの体積は 
＞96×（（2分の３）の2乗ー1）＝96×8分の19＝228（立方センチメートル） 

(1)まず、最後の文章ですが２乗ではなく、３乗ですよね？
「96×（（2分の3）の3乗－1）＝96×8分の19＝228（立方センチメートル）」
(2)１を引く理由ですが、「立体A'B'C'－VBC」の体積だということに注意してください。これは、三角すいA-VBCから三角すいA-A'B'C'の体積を引けば出てきますよね。
だから、
「三角すいA-VBCの体積＝96×((2分の3)の3乗)」から「三角すいA-A'B'C'の体積＝96」を引けばよいわけです。
それを計算式にすると「96×((2分の3)の3乗)－96」になりますよね。
これを96でくくった式で表現すると
「96×((2分の3)の3乗－1)」になりませんか？

つまり「－1」は三角すいA-A'B'C'の体積分を表しているのです。
文章にすると説明が分り難いかもしれませんが、参考となれば幸いです。

sevasu · Answer

この-1とは、三角錐A-A’B’C'の体積です。

全体V-ABCの体積から三角錐A-A’B’C'の体積96m3を
引くことで立体A'B'C’-VBCの体積がでますよね。
それを96でくくったから-1となったのです。

違ったらごめんね。

図形の問題が・・・（中学３年生）

今夜は修士論文追い込みモード（徹夜モード）の家庭教師のお兄さんです(--;;

ニャン子ママさんこんにちは。

すでに3人の方から"－1"については回答されてますので、

既に30近い会社員です。

この-1とは、三角錐A-A’B’C'の体積です。

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