材料力学 弾性二次モーメントを求める問題

卒業がかかっています。明日までに解答提出ですので、工学系の学生で分かる方、式と答えお願いします。
　図が無くて申し訳ありませんが、それでは問題の方に移りたいと思います。

（問題）１辺の長さaの正方形断面を４５°回転させて、底辺の頂点と垂直にZ軸を引いた。そのときのZ軸周りの断面二次モーメントを求めなさい。

このような問題です。工学系の学生には易しすぎるかもしれませんが私は教育系大学で高校のとき物理を履修していません。協力してください。それではよろしくお願いします。

No.1 回答者： sevasu 回答日時： 2002/02/13 01:34

大変、複雑なことになってしまいましたが、

結局、断面2次モーメントは、下記の通りです。
大学時代の教科書に書いてありましたので間違いないとは
思いますが．．

　　　　　　　　　　(√2ｈ)/2　　　　√2ｈ/2-ｙ
Ｉz=∫　ｙ2ｄＡ=2∫　　　　　ｙ2√2ｈ－－－－－ｄｙ
　　　A　　　　　　0　　　　　　　　　√2ｈ/2

　
　　＝ａ4/12　

です。

数式の表現とか、やり方があるのか分かりませんが、
∫←インテグラルです。

この回答への補足

回答ありがとうございます。Z軸が正方形の対角線を通る場合断面二次モーメントは上で正しいと思いますが問題の条件が違うので多分答えは変わってくると思います。申し訳ありませんがもう一度お願い致します。すみません。

補足日時：2002/02/13 01:55

No.2 回答者： mappyy 回答日時： 2002/02/13 01:36

　　　|

　 ／|＼　a　　　
／　 |　 ＼
＼　 |　 ／
　 ＼|／　a
　　　|
　　↑Z？？
こういう図なのでしょうか・・・。
問題の意味がちょっと理解できません。
「底辺の頂点と垂直」？？辺の頂点？はどこなのでしょうか
図があればもしかしてわかるかも知れません。

参考程度にわかりずらい図ですが
例（公式）
断面2次モーメント　I＝BHHH/12
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　↑
　　　　　　　　　　　　B×Hの３乗
　　　　B（上・下辺の長さ）
　　
　　　｜￣￣｜　H（側辺長さ）
X軸――――――
　　　｜＿＿｜

この回答への補足

回答ありがとうございます。わざわざ図まで書いていただきありがとうございます。Z軸は縦ではなく横です。
図で書くと
　　
　 ／＼　a　　　
／　 　 ＼
＼　 　 ／a
＿　＼／＿　Z

Z軸が正方形の一番下の頂点の接点と交錯しています。
それではよろしくお願いします。 　　　

補足日時：2002/02/13 01:48

No.3 回答者： mappyy 回答日時： 2002/02/13 03:39

No.2続編

おそくなりました、わかる限りをお教えします。
ご期待に添えることができないと思いますが・・・
まず　最初にその45度動いた正方形が
すっぽり入る正方形として断面２次モーメントを計算。
　　a/√2　 三角の比から　B=H=a/√2　
｜￣￣￣｜　
｜　 　　　｜ 　　　↓正方形の中心までの距離
｜ 　　　　｜ ￣￣ｚから　Y。の距離（ワイゼロ）
｜＿＿＿｜
￣￣￣￣￣￣￣￣￣z

　　　I＝BHHH／12　－　BHY。Y。　　

で次に　右上、左上、右下、左下の断面2次モーメントを
出して　上で出した四角形の断面2次モーメントから引く

　 ／＼　a　　　 　　
／　 　 ＼ 　　　　　　　　
＼　 　 ／a ￣￣￣Y。
　 ＼／　
￣￣￣￣￣￣￣￣￣z

...（三角形の二次モーメント出し方がわからない・・・）
というやり方だったと思うのですが
あまりにもこれは　建築構造力学の専門的なやり方で
文系で習うはずは　ないような・・・と思ったのですが。
　おそらくこの考え方でなくてもっと簡単なやり方のような気がします。
習った問題から出されてるはずなので
も一度、自分のノート、教科書をご確認ください。

お役に立てなくて申し訳ない。
頑張ってくださーい。

この回答への補足

４５度の三角形がすっぽりと入るということは正方形の1辺の長さが√2aとなるはずですが・・・

補足日時：2002/02/13 05:03

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。教科書・ノートは全て確認したのですがこの手はちょっと手強いです。ちょっとでも条件を変えられると分からなくなるほど応用が効かないんです。対角線なら問題ないのですが・・・
これは１つのやり方として参考にさせていただきます。基本的なやり方で解ける方がいましたらよろしくお願い致します。

お礼日時：2002/02/13 04:50

No.4 ベストアンサー 回答者： hiromuy 回答日時： 2002/02/13 09:11

　　　 　／＼

　　　／　　　＼
---<------->---- Z1
　　　＼　　　／
＿＿＿＼／＿＿＿＿ Z2

まず、#1さんの公式で、Z1周りの断面２次モーメント(I)を求めて、正方形の面積をA(=a^2)、Z1～Z2の距離をｙ(=a/√2)とすると、
I(Z2周り)＝I(Z1周り)＋Ay^2
で、Z2周りの断面２次モーメントが導けると思います。
（質問の意味を理解できていれば良いのですが・・・）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。大体解き方はつかめてきました。明日までに答えが導き出せるように頑張ります。

お礼日時：2002/02/13 12:35