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二等辺三角形ABCを、辺ABを軸として1回転してできる立体の体積は?

という問題があります。
辺AB=AC=5センチ
辺BC=6センチ
辺DC=4センチ
∠ADC=90°

というのが分かっています。

(二等辺三角形ABCと直角三角形ADCがくっついていて台形になっています。)

生徒も私も最初はBCが底辺になると考えて36π×5=60 60立方センチ
と考えましたが、答えは192/5πで間違っていました。

友人に相談したところ、辺ABにCから垂線を引いて三平方の定理を使って求めると言われました。
納得はできましたが、答えにあわず…計算間違いなのかもしれません。

皆さんにお聞きしたいのは、

(1)上記の方法で求める方法でいいのか
(2)三平方の定理を使わずに求められるか

の2点です。生徒(家庭教師をしています)はまだ三平方の定理を習っていないので…

どなたか回答を宜しくお願いします。

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A 回答 (7件)

中3なら、相似も使えませんよね。



C からABに垂線C Hを引く。
△BC Eの面積はBC ×EC ÷2=6×8÷2=24
この面積は、BEを底辺・C Hを高さとして求めても同じになるから
10×C H÷2=24→C H=24/5

よって、求める立体の体積は半径C Hの円を底面とし、ABを高さと
する円錐の体積に等しいので、
(1/3)×(24/5)^2×π×5=(192/5)π
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この回答へのお礼

回答に時間を割いていただきありがとうございます。

シンプルながら分かりやすい方法ですね!!
これなら生徒も理解してくれそうです。

ありがとうございました!!

お礼日時:2006/07/02 23:41

三平方の定理を使わずに解くことだけを目的とした解答であれば、


けっこうキタナイ解答ですが、可能です。
(もう少し、すっきりする方法があるのかもしれませんね)

まず、BCの中点をMとおくと、AB=ACの二等辺三角形なので、
AM⊥BC・・・(1)
がいえます。
>二等辺三角形ABCと直角三角形ADCがくっついていて台形になっています
なので、図から
AD//BC・・・(2)
が仮定にあると判断します。
(2)とAD⊥CDより、CM⊥CD・・・(3)
(1)(3)およびAD⊥CDより、四角形ADCMは長方形・・・(4)
よって、AD=CM=3です
そして、直線CDと直線BAの交点をEとしますと、
三角形ABM≡三角形EAD・・・(5)
(BM=AD=3とその両端の角がそれぞれ等しいことにより)
この結果、三角形BECが斜辺BE=10の直角三角形、
三角形EADが斜辺AE=5の直角三角形と分かります。
あとは、三角形BECを回転させて作る回転体の体積から、
三角形EADを回転させて作る回転体の体積を引けばいいのです。

なお、この回転体は、それぞれ底面が同じ円の三角錐を2つくっつけたものです。
その三角錐の底面の半径は、No.5さんの回答のようにすれば求まります。

ということで、三角形の合同、二等辺三角形の性質を知っていれば、理解できるでしょう。(解き方をマスターできるかは別問題ですけど)
ただ、回答を作ってはみたものの、中2までの範囲で解けるようにしただけの回答ですので、三平方の定理を使わない方法で解く問題ではないと個人的には思います。

この回答への補足

回答に時間を割いていただきありがとうございます。

全体から引くのは考えてたのですが、方法が思いつきませんでした。
この方法なら確かに中3のこの時期でも解ける方法ですね(>_<)

ありがとうございました!!

補足日時:2006/07/02 23:33
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この回答へのお礼

すみません、お礼を補足にかいてしまいました。失礼しました。

お礼日時:2006/07/02 23:36

No.3です。



No.5のかた素晴らしい!
どうしてこの方法が思いつかなかったのか。
おもわず回答してしまいました。

たしかにこの方法ならあの不思議な補助線が理解できます。私の醜悪な回答では精々50点といったところでしょうか。
あー恥ずかしい。

というわけで”比”を使ったやり方を自信を持っておすすめします。

論点は
 ・△CEH∽△BEC からBCとCHの関係を考えること
 ・真ん中が膨らんだ円錐の体積の求め方をどう理解させるか
  中三なら相似は出来ると思うので。

P.S
実は、東京大学の91年の過去問にこの問題の発展系があります。あちらは円錐の表面積を求める問題なのですが、”比”を使うという点は同じです。もちろん文系の中学生でも解けます。
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この回答へのお礼

回答に時間を割いていただきありがとうございます。
中3もこの時期だと相似はまだ習ってないので相似はまだできないです…
でも、三平方の定理での回答にしても回答していただいてありがとうございました!!

お礼日時:2006/07/02 23:42

三平方の定理を使えるなら、△ACDのことは無視しましょう。



頂点Cから辺ABに垂線を引きましょう。その長さをyとします。また、ABと交わった点をFとします。
辺AFの長さをxとしたら、
辺BFの長さは(5-x)ですね?

ここで三平方の定理の登場
△ACF:
x^2+y^2=5^2

△BCF:
(5-x)^2+y^2=6^2

これらを解いて、「y^2」を求めます。

なぜなら、体積の公式は
V=r^2*π*h*1/3・・・・・(円周率πを以下Piと書きます。)
今回は半径がyになっているんです。

で、体積について少し考えます。
△ACF:
V1=y^2*Pi*x*1/3

△BCF:
V2=y^2*Pi*(5-x)*1/3

全体の体積Vは
V=V1+V2なので、足します。

V=y^2*Pi*x*1/3+y^2*Pi*(5-x)*1/3
V=y^2*Pi*1/3(x+5-x)・・・・・y^2*Pi*1/3で全体をくくりました。
V=y^2*Pi*1/3*5・・・・・・(xが消えちゃいましたね♪)

になりますね?

上にある方程式を解くとy^2=○○と出てくるので
あとはV=の式に代入してみてください。

答えと同じ値になりますよ。
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この回答へのお礼

回答に時間を割いていただきありがとうございます。

三平方の定理での解き方の詳細を記述していただいてありがとうございます。
私は計算ミスしていたかもしれません…
自分のと比較してもう1度解きなおしたい思います。

ありがとうございました!!

お礼日時:2006/07/02 23:46

辺DCの意味が全く解りません。


二等辺三角形ABCを辺ABを軸にして、回転させれば良いのですよね?

私は点Cから辺ABに対して垂線を引いて交わった点をGと置きます。

AGを文字の"a"とすると
GB=AB-a=5-a

三平方の定理を考えると、辺GCは分けたそれぞれの三角形に共通する辺なので
  
      (AC)^2+(5-a)^2 =(BC)^2 +(a)^2

これで"a"がでて、さらに三平方を使って辺CGを求めます。

 6^2-a^2= 24/5

これで辺CGを底辺にした高さABの円錐が見えてきます。

答えは 192π /5

ものすごく醜悪な回答ですがこれが正解だと思います。
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1です


問題を履き違えてました.
AB=AC=5にしなくてはなりませんでしたね.

AD:DB=AC:CB=5:6
∴5DB=6AD
一方 AD+DB=5
これからAD=25/11,DB=19/11
DC^2=5^2-AD^2=5^2-(25/11)^2
DC=root(5^2-(25/11)^2)
 =root(5^2*11^2-25^2)/11
 =root(5^2(11^2-5^2))/11
 =(5/11)root(96)
 =(20/11)root(6)

この回答への補足

 

補足日時:2006/07/01 22:59
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この回答へのお礼

回答に時間を割いていただいてありがとうございます。

私の不手際で折角回答損させてしまって申し訳ありませんでした。

お礼日時:2006/07/02 23:20

DはCからABに下ろした垂線なのでしょうか?


だとするとCDの長さを求めるのに三平方を使う必要があります.

AD:DB=AC:CB=4:6
∴2DB=3AD
一方 AD+DB=4
これからAD=8/5,DB=12/5
DC^2=4^2-AD^2=16-(8/5)^2
DC=root(16-(8/5)^2)
 =root(400-64)/5
 =root(336)/5
 =(4/5)root(21)
でDC=4にはならない思います.

この回答への補足

すみません、説明不足でした。

>友人に相談したところ、辺ABにCから垂線を引いて三平方の定理を使って求めると言われました。
ABからCに引いた垂線はDとは違います。
三角形ABCと三角形ACDがくっついているんです。
文字だと説明しにくいですが…

辺AB=AC=5センチ
辺BC=6センチ
辺DC=4センチ
∠ADC=90°

この記述は私が求めたのではなく、問題で既に書かれているものです。

補足日時:2006/07/01 22:53
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