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二等辺三角形ABCを、辺ABを軸として1回転してできる立体の体積は?

という問題があります。
辺AB=AC=5センチ
辺BC=6センチ
辺DC=4センチ
∠ADC=90°

というのが分かっています。

(二等辺三角形ABCと直角三角形ADCがくっついていて台形になっています。)

生徒も私も最初はBCが底辺になると考えて36π×5=60 60立方センチ
と考えましたが、答えは192/5πで間違っていました。

友人に相談したところ、辺ABにCから垂線を引いて三平方の定理を使って求めると言われました。
納得はできましたが、答えにあわず…計算間違いなのかもしれません。

皆さんにお聞きしたいのは、

(1)上記の方法で求める方法でいいのか
(2)三平方の定理を使わずに求められるか

の2点です。生徒(家庭教師をしています)はまだ三平方の定理を習っていないので…

どなたか回答を宜しくお願いします。

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A 回答 (7件)

中3なら、相似も使えませんよね。



C からABに垂線C Hを引く。
△BC Eの面積はBC ×EC ÷2=6×8÷2=24
この面積は、BEを底辺・C Hを高さとして求めても同じになるから
10×C H÷2=24→C H=24/5

よって、求める立体の体積は半径C Hの円を底面とし、ABを高さと
する円錐の体積に等しいので、
(1/3)×(24/5)^2×π×5=(192/5)π
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この回答へのお礼

回答に時間を割いていただきありがとうございます。

シンプルながら分かりやすい方法ですね!!
これなら生徒も理解してくれそうです。

ありがとうございました!!

お礼日時:2006/07/02 23:41

三平方の定理を使わずに解くことだけを目的とした解答であれば、


けっこうキタナイ解答ですが、可能です。
(もう少し、すっきりする方法があるのかもしれませんね)

まず、BCの中点をMとおくと、AB=ACの二等辺三角形なので、
AM⊥BC・・・(1)
がいえます。
>二等辺三角形ABCと直角三角形ADCがくっついていて台形になっています
なので、図から
AD//BC・・・(2)
が仮定にあると判断します。
(2)とAD⊥CDより、CM⊥CD・・・(3)
(1)(3)およびAD⊥CDより、四角形ADCMは長方形・・・(4)
よって、AD=CM=3です
そして、直線CDと直線BAの交点をEとしますと、
三角形ABM≡三角形EAD・・・(5)
(BM=AD=3とその両端の角がそれぞれ等しいことにより)
この結果、三角形BECが斜辺BE=10の直角三角形、
三角形EADが斜辺AE=5の直角三角形と分かります。
あとは、三角形BECを回転させて作る回転体の体積から、
三角形EADを回転させて作る回転体の体積を引けばいいのです。

なお、この回転体は、それぞれ底面が同じ円の三角錐を2つくっつけたものです。
その三角錐の底面の半径は、No.5さんの回答のようにすれば求まります。

ということで、三角形の合同、二等辺三角形の性質を知っていれば、理解できるでしょう。(解き方をマスターできるかは別問題ですけど)
ただ、回答を作ってはみたものの、中2までの範囲で解けるようにしただけの回答ですので、三平方の定理を使わない方法で解く問題ではないと個人的には思います。

この回答への補足

回答に時間を割いていただきありがとうございます。

全体から引くのは考えてたのですが、方法が思いつきませんでした。
この方法なら確かに中3のこの時期でも解ける方法ですね(>_<)

ありがとうございました!!

補足日時:2006/07/02 23:33
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この回答へのお礼

すみません、お礼を補足にかいてしまいました。失礼しました。

お礼日時:2006/07/02 23:36

No.3です。



No.5のかた素晴らしい!
どうしてこの方法が思いつかなかったのか。
おもわず回答してしまいました。

たしかにこの方法ならあの不思議な補助線が理解できます。私の醜悪な回答では精々50点といったところでしょうか。
あー恥ずかしい。

というわけで”比”を使ったやり方を自信を持っておすすめします。

論点は
 ・△CEH∽△BEC からBCとCHの関係を考えること
 ・真ん中が膨らんだ円錐の体積の求め方をどう理解させるか
  中三なら相似は出来ると思うので。

P.S
実は、東京大学の91年の過去問にこの問題の発展系があります。あちらは円錐の表面積を求める問題なのですが、”比”を使うという点は同じです。もちろん文系の中学生でも解けます。
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この回答へのお礼

回答に時間を割いていただきありがとうございます。
中3もこの時期だと相似はまだ習ってないので相似はまだできないです…
でも、三平方の定理での回答にしても回答していただいてありがとうございました!!

お礼日時:2006/07/02 23:42

三平方の定理を使えるなら、△ACDのことは無視しましょう。



頂点Cから辺ABに垂線を引きましょう。その長さをyとします。また、ABと交わった点をFとします。
辺AFの長さをxとしたら、
辺BFの長さは(5-x)ですね?

ここで三平方の定理の登場
△ACF:
x^2+y^2=5^2

△BCF:
(5-x)^2+y^2=6^2

これらを解いて、「y^2」を求めます。

なぜなら、体積の公式は
V=r^2*π*h*1/3・・・・・(円周率πを以下Piと書きます。)
今回は半径がyになっているんです。

で、体積について少し考えます。
△ACF:
V1=y^2*Pi*x*1/3

△BCF:
V2=y^2*Pi*(5-x)*1/3

全体の体積Vは
V=V1+V2なので、足します。

V=y^2*Pi*x*1/3+y^2*Pi*(5-x)*1/3
V=y^2*Pi*1/3(x+5-x)・・・・・y^2*Pi*1/3で全体をくくりました。
V=y^2*Pi*1/3*5・・・・・・(xが消えちゃいましたね♪)

になりますね?

上にある方程式を解くとy^2=○○と出てくるので
あとはV=の式に代入してみてください。

答えと同じ値になりますよ。
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この回答へのお礼

回答に時間を割いていただきありがとうございます。

三平方の定理での解き方の詳細を記述していただいてありがとうございます。
私は計算ミスしていたかもしれません…
自分のと比較してもう1度解きなおしたい思います。

ありがとうございました!!

お礼日時:2006/07/02 23:46

辺DCの意味が全く解りません。


二等辺三角形ABCを辺ABを軸にして、回転させれば良いのですよね?

私は点Cから辺ABに対して垂線を引いて交わった点をGと置きます。

AGを文字の"a"とすると
GB=AB-a=5-a

三平方の定理を考えると、辺GCは分けたそれぞれの三角形に共通する辺なので
  
      (AC)^2+(5-a)^2 =(BC)^2 +(a)^2

これで"a"がでて、さらに三平方を使って辺CGを求めます。

 6^2-a^2= 24/5

これで辺CGを底辺にした高さABの円錐が見えてきます。

答えは 192π /5

ものすごく醜悪な回答ですがこれが正解だと思います。
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1です


問題を履き違えてました.
AB=AC=5にしなくてはなりませんでしたね.

AD:DB=AC:CB=5:6
∴5DB=6AD
一方 AD+DB=5
これからAD=25/11,DB=19/11
DC^2=5^2-AD^2=5^2-(25/11)^2
DC=root(5^2-(25/11)^2)
 =root(5^2*11^2-25^2)/11
 =root(5^2(11^2-5^2))/11
 =(5/11)root(96)
 =(20/11)root(6)

この回答への補足

 

補足日時:2006/07/01 22:59
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この回答へのお礼

回答に時間を割いていただいてありがとうございます。

私の不手際で折角回答損させてしまって申し訳ありませんでした。

お礼日時:2006/07/02 23:20

DはCからABに下ろした垂線なのでしょうか?


だとするとCDの長さを求めるのに三平方を使う必要があります.

AD:DB=AC:CB=4:6
∴2DB=3AD
一方 AD+DB=4
これからAD=8/5,DB=12/5
DC^2=4^2-AD^2=16-(8/5)^2
DC=root(16-(8/5)^2)
 =root(400-64)/5
 =root(336)/5
 =(4/5)root(21)
でDC=4にはならない思います.

この回答への補足

すみません、説明不足でした。

>友人に相談したところ、辺ABにCから垂線を引いて三平方の定理を使って求めると言われました。
ABからCに引いた垂線はDとは違います。
三角形ABCと三角形ACDがくっついているんです。
文字だと説明しにくいですが…

辺AB=AC=5センチ
辺BC=6センチ
辺DC=4センチ
∠ADC=90°

この記述は私が求めたのではなく、問題で既に書かれているものです。

補足日時:2006/07/01 22:53
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そこで、どなたか硬めのケーキ生地で、あまり重たくないケーキのレシピや、提案などありましたら、是非教えていただけないでしょうか?
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あまりふわふわしたケーキは中が筒をはめ込んで焼くために空洞部分ができるので、ある程度重みのある、しっとりしたケーキが適しているとは思うのですが・・・。
チョコ生クリームでデコレーションしたいので、それにあうとさらにベストです。
また、レシピを教えてくださる場合、砂糖の種類も書いていただけると助かります。私はオーストラリアに住んでいるのですが、日本の白砂糖の場合、こちらのカスターシュガーを使う場合はこの分量と大まかですが研究(?)しているためです、もしそれがグラニューの場合、また比率が変わるので、できれば砂糖の種類も記入いただけると助かります。

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写真は型の画像です。よろしくお願いします!!!

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AC→=c→として、AI→をb→、c→で表せ。

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回答を見ると、
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すると、その和の1/5b→+1/6c→は∠Aの二等分線上のベクトルであるので、AI→と同一直線状にあることがわかります。

よって、式を作ると
AI→=k(1/5・b→+1/6・c→)=t(6b→+5c→)
*K/30 =t とおく

質問1
AI→=K(1/5・b→+1/6・c)というのは、これは、ベクトルを最初に学んだ最初の部分のことですよね??ただ、そのあとの、t(6b→+5c→)というのと、(k/30 = tとおく)って部分がわかりませんでした。 この二つ、t(6b→。。)って部分は気がつかないといけない部分と、t=k/30の部分は、数学の世界って良くKとか置く事が多くて>_<今回この意味がわからないと絶対だめだと感じました。。

続き→
同様ににBA→=-b→、BC→=-b→+c→
BI→=l{1/5(-b→)+1/4(-b→+c→)} =l(ー9/20・b→+1/4・c→)=s(-9b→+5→c)と表せる。

質問2
最初のAIでも同じなんですけど、どうしてK(。。 やl(。。とlとkが出てきてるのですか??
あとl(-9/20・b→+1/4・c→)って部分と
そのあとのs(-9b→+5→c)って部分がどうしてこのようになるのかわかりませんでした>_<

どなたか教えてくださいお願いします>_<

3辺の長さがBC=4、CA=6,AB=5のような三角形ABCにおいて、内心をIとする。AB→=b→、
AC→=c→として、AI→をb→、c→で表せ。

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ABとACの長さは5,6なので、ABとAC上の単位ベクトルは、1/5b→、1/6c→となります。(単位ベクトルは1なので)
すると、その和の1/5b→+1/6c→は∠Aの二等分線上のベクトルであるので、AI→と同一直線状にあることがわかります。

よって、式を作ると
AI→=k(1/5・b→+1/6・c→)=t(6...続きを読む

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>(k/30 = tとおく)って部分がわかりませんでした。
  これはtと置かなくても大丈夫です。分数がないようにしているだけ
  でしょう。だから、t=k/30は気がつかなくても解けます。

>あとl(-9/20・b→+1/4・c→)って部分とそのあとの・・・
  ※1と見間違うからl(エル)は大文字Lとしますね。
  これは、AI→のときと同じ考えで、BI→は、
  (BA→の単位ベクトルとBC→の単位ベクトルの和)×L・・・☆
  と表すことができ、BA→=-b→だからBA→の単位ベクトルは
  -1/5b→、BC→=c→-b→だからBC→の単位ベクトルは
  1/4(c→-b→)となるので、☆の式に代入して
  BI→=L(-1/5b→+1/4c→-1/4b→)=L(-9/20b→+1/4c→)
  L/20=sとおけば、-9L/20=-9s、L/4=5L/20=5sと表せ
  BI→=s(-9b→+5c→)となります。

  さっきと同じで、これもsと置き換えないでも大丈夫です。

あとは、AI→=AB→+BI→からt、s(または置き換えなしなら
k、L)の連立を解けば、t(またはk)が求められます。

>(k/30 = tとおく)って部分がわかりませんでした。
  これはtと置かなくても大丈夫です。分数がないようにしているだけ
  でしょう。だから、t=k/30は気がつかなくても解けます。

>あとl(-9/20・b→+1/4・c→)って部分とそのあとの・・・
  ※1と見間違うからl(エル)は大文字Lとしますね。
  これは、AI→のときと同じ考えで、BI→は、
  (BA→の単位ベクトルとBC→の単位ベクトルの和)×L・・・☆
  と表すことができ、BA→=-b→だからBA→の単位ベクトルは
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全く同じ絵だと立体には見えないですね。
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指を一本、目の前に立てて左目と右目の片目ずつで見た場合と、
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途中までできたのですけど、その後が教科書の答えのように式をつくれませんでした。

まず私は、
AI=l(1/c・c→+1/b・b→) と式を作りました。
これはAIを求める時に、単位ベクトルを1とし、
その中で、1/c・cが当てはまるので、これで一般線形表示の式をつくりました。

つぎに、OIを題意では聞かれてるのですが、まずAIとBIを求めると、過去の問題で理由はわかりませんけど、順序良く求めていくものなのでBIの式をつくりました。
BI=K{1/c(-c) +1/a(-c)+1/a(b)} *(-c)とかは分子に掛かってます。
ただ、是は教科書のを見て書いたのですけど、
BAが1/c・(-c)は解るのですけど、どうして、BCは
BC=1/a・(a)ではダメで、きちんとBC=1/a(-c+b)としなくてはダメなのでしょうか?(質問1)

そのまま続たら、
BI=K{(-1/c-1/a)c + 1/a・b} とbとcで分けて
BI=BA+AIより、 K{(-1/c-1/a)c + 1/a・b}=-c+l/c・c+l/b・b 
この式を教科書見るとcとbで式を抜き出してました。
K{(-1/c-1/a)}=-1+l/c ...A
k/a=l/b....b
これはどうしてこのように出来るのですか?(質問2)
ベクトルcとbは平行ではない理由から、一つの式から抜き出して、分ける事の可能な理由を教えてください。
..bの式をK=に変形して...a二代入すると。
l=bc/a+b+cとなり、 AI=bc/a+b+C ×(1/c・c→+1/b・b→)....C ⇔OI =OA+AI の式をつくる。
OI=OA+AI=l+b/a+b+c×(m-l)+c/a+b+c(n-l) (質問3)OI=OA+AIの式を作るので、AIを求めたのですけど、どこから、(m-l)と(n-l)が生まれたのかわかりませんでした。>_<最後この部分をとけて答えがでるのですけど、AI=bc/a+b+c(1/c・c+1/b・b)の筈なんですけど。。。>_< 

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まず私は、
AI=l(1/c・c→+1/b・b→) と式を作りました。
これはAIを求める時に、単位ベクトルを1とし、
その中で、1/c・cが当てはまるので、これで一般線形表示の式をつくりました。

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Aベストアンサー

「ベクトルAB」を (AB)↑ と書きます 「ベクトルm」は m↑ です。
ご質問に直接答えてないですが、まず、以下はOKですか?
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(OC)↑= n↑
(AB)↑= m↑ - l↑ よって (BA)↑= l↑ - m↑
(AC)↑= n↑ - l↑
(BC)↑= n↑ - m↑
次に
(AB)↑の大きさを1にすると  (m↑ - l↑)/c よって (BA)↑の大きさを1にすると ( l↑ - m↑)/c
(AC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - l↑)/b
(BC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - m↑)/a
(AI)↑=h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} とかける
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} とかける
ここで
(AI)↑+(IB)↑= (AB)↑ より
(AI)↑-(BI)↑= (AB)↑すなわち
h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} - k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} = m↑ - l↑
n↑の係数を比較すると、h/b - k/a = 0 すなわち h = kb/a
m↑の係数を比較すると、h/c + k/c + k/a = 1 すなわち h/c + k(a+c)/ac = 1
第一式を第二式に代入してhを消去すると kb/ac + k(a+c)/ac = 1 すなわち k(a+b+c)/ac = 1
すなわち k = ac/(a+b+c) よって
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} ={ac/(a+b+c)}{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a}
={a/(a+b+c)}( l↑ - m↑) + {c/(a+b+c)}( n↑ - m↑)
={a/(a+b+c)}l↑ - {(a+c)/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
ここで(OI)↑=(OB)↑+(BI)↑ より
(OI)↑=(OB)↑+(BI)↑= m↑+ {a/(a+b+c)}l↑ - {(a+c)/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
= {a/(a+b+c)}l↑ + {b/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
= (a*l↑ + b*m↑ + c*n↑)/(a+b+c)

「ベクトルAB」を (AB)↑ と書きます 「ベクトルm」は m↑ です。
ご質問に直接答えてないですが、まず、以下はOKですか?
(OA)↑= l↑
(OB)↑= m↑
(OC)↑= n↑
(AB)↑= m↑ - l↑ よって (BA)↑= l↑ - m↑
(AC)↑= n↑ - l↑
(BC)↑= n↑ - m↑
次に
(AB)↑の大きさを1にすると  (m↑ - l↑)/c よって (BA)↑の大きさを1にすると ( l↑ - m↑)/c
(AC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - l↑)/b
(BC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - m↑)/a
(AI)↑=h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} とかける
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c...続きを読む

QIllustratorを使って写真画像を元にした絵の描き方について。

初めまして。質問を失礼させていただきます。
色々とWebにて調べてみたのですが、なかなか求めている回答が見つからなかったため、ここにて書き込みさせていただきました。

現在Illustratorを使ってFlashサイトに使う画像を作成しようと思っているのですが、Illustrator経験が皆無な私にしてみると、思い通りの画像がなかなか出来ません。
そこで、色々とWebを回り、
元々ある素材(写真)等から、アウトラインを作る、リトレースという方法があるということを見つけはしたのですが、なかなかその実際のやり方を見つけることができませんでした。
初心者の私でもこれはできるものなのでしょうか?

また、ほかにも、写真などの元の素材から、Illusratorを使ってイラストを描くという方法があるものなのでしょうか?

あまりにも、初心者には無謀な質問だったら申し訳アリマセン;
もし、御伝授いただけるかたがいらっしゃいましたら、どうぞよろしく御願いいたしますm(_ _)m

一応自分の使用しているソフトのバージョンですが、
Illusrator CS4
です。
どうぞよろしく御願いいたします!

初めまして。質問を失礼させていただきます。
色々とWebにて調べてみたのですが、なかなか求めている回答が見つからなかったため、ここにて書き込みさせていただきました。

現在Illustratorを使ってFlashサイトに使う画像を作成しようと思っているのですが、Illustrator経験が皆無な私にしてみると、思い通りの画像がなかなか出来ません。
そこで、色々とWebを回り、
元々ある素材(写真)等から、アウトラインを作る、リトレースという方法があるということを見つけはしたのですが、なかなかその実際のやり方...続きを読む

Aベストアンサー

自分もあまり使わない機能なのでいまいち自信はありませんけど…

CS2以降で「ライブトレース」と「ライブペイント」を利用する

説明すると長いのでこの先のムービーを参考に色々試行錯誤してみてください。ライブペイントに関しては写真画像からトレースしたものに対しては… ないだろうな。線画データからトレース起こして着色には有効かと思います(基本的に拡張からグループ解除して無駄なアンカーを削って… などのわけのわからない作業になります この辺は無視してください)

・ライブトレースとライブペイントについて(上から線画、写真、ライブペイント)
http://www.adobe.com/jp/special/creativesuite/portal/guides/illustrator02_02.html

・他サイト(写真をトレースするには、トレースの設定、画像をトレースする、ライブトレース結果を編集する、などが参考に)
http://www.dougamanual.com/blog/10/

・線画による解説
http://allabout.co.jp/internet/cg/closeup/CU20050607A/

他にもキーワードを組み合わせて検索をかければある程度の情報に当たりますから試してみてください。

このような機能を使わず、画像をトレースしながらイラストを起こす方法は「リアルイラスト」系の書籍やWebを参考にしてください。
(実際にやると結構大変な作業です、センスも問われちゃうし)

・現在入手可能な書籍はこれかな?
hhttp://gihyo.jp/book/2006/4-7741-2804-X

・この作品はライブトレースから起こしている(ような気がする、わかんないけど)
http://kohtguchi.at.webry.info/theme/a2f2ef7b0f.html

自分もあまり使わない機能なのでいまいち自信はありませんけど…

CS2以降で「ライブトレース」と「ライブペイント」を利用する

説明すると長いのでこの先のムービーを参考に色々試行錯誤してみてください。ライブペイントに関しては写真画像からトレースしたものに対しては… ないだろうな。線画データからトレース起こして着色には有効かと思います(基本的に拡張からグループ解除して無駄なアンカーを削って… などのわけのわからない作業になります この辺は無視してください)

・ライブトレースとライブ...続きを読む

Q二等辺三角形の等しい辺の辺の求め方について。

解らなかった問題
1)底辺の長さが6cmで、面積が15cmメーターの二等辺三角形がある。等しい辺の長さは何cmか。

2)1辺の長さが8cmである正三角形の面積は何cmメーターか。

この2問が解らなかったのですが、解答は1)が√34(34は√の中)で、2)が16√3(3が√の中)でした。

わかる方解き方教えてください!

Aベストアンサー

#2です。
間違えました~!

2)
4√3は高さですね。
底辺8cm高さ4√3cmの三角形なら
面積=8×4√3÷2
=16√3
ですね。 m(_ _)m


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