単振り子の振動を止める

単振り子を台に固定したうえで振動させ、台を錘と同じ方向に動かすことで振り子の振動を止めたいと思っています。（ブランコを台車に載せているイメージです）実際に模型を作り、振動が止まることは確認できたのですが、どのような関係式があるのかが思いつきません。錘と同じ加速度で台を動かすと振動は減衰していくのでしょうか？

No.3 回答者： tgb 回答日時： 2006/08/11 16:27

支点は水平方向のみに動かすこととし、振り子の腕は重さを無視でき、変形しない(糸ではない)ものとします。

振り子の振れ角度がある値になった時点で支点を動かし始めて振り子の揺れを制御するとして、この動かし始めからの時間をｔとします。
振り子の重りの質量をｍ、腕の長さをｌ、重力加速度をｇとします。振り子の腕の張力をＴ(引っ張りを正)とします。
座標は支点から右方向にｘ、鉛直上向き(画面上向き)にｙとします。(原点はｔ＝０における支点の位置)
振り子の振れ角度をθ(右側に振れている状態でθ＞０)、支点の位置をｌ・ｓとします(振り子の腕の長さを基準にして腕の長さと同じ時ｓ＝１)。

振り子の重りの位置をｘ、ｙとして、位置関係から
　ｘ＝ｌ・(ｓ＋ｓｉｎ(θ))
　ｙ＝－ｌ・ｃｏｓ(θ)
運動方程式は、
　ｍ・ｘ''＝－Ｔ・ｓｉｎ(θ)
　ｍ・ｙ''＝－ｇ＋Ｔ・ｃｏｓ(θ)

これから、Ｔ、ｘ、ｙを消去すると

　θ''＋ｋ・ｓｉｎ(θ)＋ｓ''・ｃｏｓ(θ)＝０
　ｋ＝ｇ／(ｍ・ｌ)

問題はｔ＝０でθ、θ'が指定された時、ｔ＝ｔｅでθ＝０、θ'＝０
となるように関数ｓ(ｔ)を決定するというように定式化できます。
ここで、ｔｅ(振り子が止まるまでの時間)は問題の状況によって適当に指定することになります。



これを変分の問題として一般的(解析的)に解くのは難しいのではないかと思いますが、
不完全ですが解法の１つとして思いつきましたのでその考え方のみ示してみたいと思います。

問題をそのまま考えると、
・関数ｓを仮定すると
・θに関する微分方程式によりθの関数形が決まり、
・そこからθに関する境界条件を考えることが出来て、
・指定の境界条件を満足するかどうか判定ができ、
・最終的に境界条件を満足するようにうまくｓを調整する
と言うことですが、
方程式を満足させるようにするという観点からはθ、ｓどちらを主体にしてもよいので
問題を次のように置き換えることが出来ます。
＃予めθに対して境界条件を満足するような関数を当てはめておき、
＃この条件下で元の運動方程式を満足するようにｓを決めてやっても
＃そのようにｓが求まれば最終的には目的の解として採用できる
この考え方により、両端の境界条件を満足するようにθの関数形を与え、元の運動方程式をｓに関する微分方程式として少なくても数値的には解くことが可能になると思います。



実際の問題に適用するためには、ｓ''の大きさの制約などが入ってくる可能性もあります。
振り子の振れ角度が(振り子を静止させる過程に入ってからも)十分小さいとすることが可能なら
　θ''＋ｋ・θ＋ｓ''＝０
となり、ばねの動きを制御する問題と同じになり、だいぶ単純化されます。
今回の問題は自発的に振動するような震動源があってその周囲を含めた全体的な振動を押さえる問題とは異なるため、振動を制御するプロセスに入った時点でその運動は振動とは必ずしも関係が無くなり、振り子はあくまで運動方程式に基づき制御の仕方によってはどのようにも(一定の制約はありますが)運動するものと思います。

No.2 回答者： semi-zzz 回答日時： 2006/08/01 10:42

動吸器などは共振現象を利用して振動を押さえます。

動吸器は振動を止めたい対象物と同じ固有周期で振動する振動系です。

対象物が振動すると動吸器が共振して大きく揺れます。そのため対象物の振動エネルギーが吸収され小さくなります。

質問のケースはちょっと状況が異なりますが、動吸器が振動する代わりに、台が振動していると考えるとよいと思います。
数式などを知りたい場合は、２質点系の振動式を見てください。

あるいは振り子の振動は重力という外力を受けて発生しています。その重力を打ち消す強制加振を与えているという考え方もできると思います。
これはアクティブコントロールの考え方などを参考にすればよいです。

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/07/31 19:17

>どのような関係式があるのかが思いつきません。

錘と同じ加速度で台を動かすと振動は減衰していくのでしょうか？

これは振動問題でよくある、「強制振動」とはちがいますね。錘と同じ加速度で台を動かすわけですから、錘には実質的に復元力（-kx)が働かないことになります。したがって、錘は振動しません。これは、振動の「減衰」とも違います。そもそも、「振動の問題」になっていないのです。

これとよく似た現象に、振り子に外部から強制振動を与えた場合、振り子の固有振動数と外力の振動数がほぼ等しいときに「うなり」の現象がみられますね。上記の場合はこれとは違う現象です。