「方程式」と「文字式の等式」のちがい

Question

「方程式」＝「文字式の等式」なのでしょうか。
それとも、違うのでしょうか。

中１の数学の単元で、「文字の式」というところがありますが、その最後の方に、文字の式を使って等式をつくる所があります。
そして、次の単元で「方程式」を習うのですが、これって、「文字の式」の所で、すでに方程式をつくる問題が出ているってことなのでしょうか。
それとも、「文字式」で「等式」をつくるものは、その式を解くことを目的せず、等式をつくっているだけなので、こういう式は、方程式とは言わないのでしょうか。

学校の先生の中でも、「これは方程式だ」という方と、「「文字の式」の中ででてきた「等式」の問題だから、これは「方程式」とは言わないんじゃない？」という先生に分かれました。

知っている方がみえましたら、お願いします。

adinat · Accepted Answer

ずいぶん紛糾してしまっているようなので、もう一度、僕の立場を明確にしておきます。これは解釈の問題です。きちんとした定義がない以上、これが定義だとお互い言い合っても何にもならないのです。だからおおらかな気持ちをもって、こういう風に解釈する流儀もあるのだ、という風に思っておけばよいと思う、という話をしました。説明のために中学数学から多少逸脱しますが、適当に聞き流してください。

一般に文字の入った式を方程式と呼ぶというので不都合はないのですが、方程式にもいろいろあります。その文字にいかなる数を代入しても成り立つ場合を恒等式と呼びます、といいました。それはよいと思います。ただし恒等式すら方程式の仲間にいれるという流儀もあります。これはすべての数を解にもつ方程式、という考え方です。実はこう解釈しておく方がある意味では合理的でもあります。でもまあ高校などでもよくやるように、恒等式とそれ以外の式は区別するようにしておきましょう。

問題は恒等式じゃない方程式をどう解釈するかです。たとえば、1次方程式x+1=0は確かに特定の解-1のみを持つから方程式だ。じゃあ2次方程式x^2-1=0はどうか？これは±1を解に持つ。1個じゃないけど、この2個しかないから、これも方程式と呼んでいいような気がする。じゃあx^2+1=0は？これは解をもたないぞ？つねに成り立たないのに方程式と呼んでいいのだろうか？でも複素数まで考えたら±iを解に持つよなあ。じゃあ方程式でいいか。じゃあsin(x)=0はどうか。これはx=2nπ（ただしnは整数）が全部解になって無限個解があるぞ？でも、それ以外はダメだからやはり、方程式でいいか。

次のような連立方程式というのを中2で習います。x+y=2、x-y=0。未知数が増えましたが、これも方程式の仲間です。x=y=1が唯一の解。じゃあ連立方程式、x+y=3、2x+2y=6はどうなの？x=1,y=2も解だけど、x=t、y=3-tとしたって解じゃないの？tは何でもいいよ。こうやって解が無数に存在することもあります。

一般に、解が一通りに決まらないような方程式のことを不定方程式と呼んでいて、整数論では重要な問題です。これを方程式とは呼ばないなんて僕にしてみれば言語道断だとは思いますが、それも流儀の問題。呼びたくなければ別にこれは方程式の仲間からはずしても構わない。

だけど、a+b=1なんかは不定方程式の仲間なのです。任意定数tをもってきて、a=t、b=1-tとかけるものがすべての解なのです。これ以外は解にはなりません。これを不定方程式a+b=1を解くといいます。

ただ、たとえば二次方程式x^2-1=0は解を二つもつ。ひとつじゃないじゃないか！これも不定方程式なのか？いや、これは通常の方程式と呼ぶ。じゃあsin(x)=0なんかは無限個解があるから不定方程式か？それも違う気がする。そういう話をするととてもややこしくなってきますよね。

だから再度書きますが、こう解釈するのはどうですか？恒等式以外の文字を含む式はすべて方程式であると思う、って。もちろん文字を含んだ式を立式することは、その方程式（一般には大抵不定方程式）を解くことが目標ではないので、したがって利用価値という観点からは方程式と呼ぶ必然性はなんらないのだけれど、首尾一貫した名前の付け方をしたいと思うなら、文字式をすべて方程式と呼んでもいいんじゃないかとも僕は思います。

tent-m8 · Answer

方程式と文字式の等式は、違います。

方程式とは、未知数を含む等式のことで、特定の数を代入した時にのみ成り立つ等式のことです。
例：　X+1=3

文字式の等式とは、式に文字を含む等式のことです。
例：　X+2X=3X, a+b=c  などです。

Willyt · Answer

方程式は少なくとも一つの未知数を含む二つの数式が等号または不等号で繋がれているものです。等式も勿論そうですが、等式は不等号でななく等号であることが必要ですが、未知数が必ずしも含まれている必要はありません。定数を表わす文字は等式にも方程式にも含まれることもあり含まれないこともあります。

apple_pie1 · Answer

x＋2x=3x
は、文字式の等式で、方程式とはいわないです。

x+1=2
は、文字式の等式であり、方程式でもあります。

未知数xなどが特定の値をとるときだけ成り立つ式を方程式といいます。上の式は、xが何でもＯＫですが、下の式は、1じゃないとだめです。特定の値1はこの方程式の解です。この文字式の等式のxの解といってもいいと思います。

noname#26743 · Answer

中学生の教育教科課程について把握しているはずの専門家でも意見がわかれているみたいですね。その問題がどのようなものか提示されていないので詳しく意見できないのですが、
★★
「文字式の等式」は文章から式を作るまでが該当すると思います。なので、数字で答えが出ません（式をたてられれば満点）。これに比較して「方程式」では答えを出すことができます（例えば式だけでは部分点、公園まで１５００ｍとか、りんごを５個かったとかそこまでできないと満点もらえません）。
＊＊＊
「文字式の等式」でなぜ答えが出せないかというと、この時点で方程式を習っていないということと、数式を解くにはヒントとなる文中にでてくる数字が不十分だからです。

adinat · Answer

あまり好きではないのですが、一応wikiへの参考リンクをつけておきます。

いくつか見解が分かれているところもあるのですが、中学高校生であれば、基本的には次のように理解されるのがベストだと僕は考えています。

文字の入った等式（＝の入った式）において、
(左辺)-(右辺)
を計算した結果、再び文字式になるものを「方程式」
(左辺)-(右辺)
を計算した結果が0になってしまうものを「恒等式」
と呼ぶのだ、ということです。

これは別の言い方もできて、たとえば

xという文字の入った等式があって、ある特定のx（複数であることもあるけど、全部ではない）に対してその等式は成立するが、他の値をxに放り込むと成立しなくなる式を「方程式」、

xにどんな値を放り込んでも常に成立する式を「恒等式（恒[つね]に成り立つ式）」

と考えたりもできます。いずれにせよ、一見同じ文字の等式に見えるが、実はまったく性質の違う二つの式を「方程式」と「恒等式」のように区別して呼ぶわけです。こういう理解をしていてまず問題はないと思います。

以下、注意なんですが、「恒等式」も一種の「方程式」とみなす（つまりすべての数が解になる方程式と思う）流儀ももちろんあるし、分類上そういうふうに思っていた方が便利なこともあります。なので、この人とこの人の言っていることが違う、などと目くじらを立てず、いろいろな解釈の仕方があるんだ、と広い心を持って欲しいです。

それからあなたのご質問に書かれている、文字の式を使って等式を作る問題というのは、要するに上で書いた恒等式ではない「方程式」を立式する問題であると思われます。たとえば、半径がaの円の円周の長さがbであるとき、aとbの満たす式を求めなさい、というものがあったとする。このとき、2aπ=bですが、これは間違いなく方程式なのです。たとえばa=3、b=5とでもしたらこの式は成り立たない！従って恒等式ではない！！教科書の次の単元で扱う「方程式」の章は、このような恒等式ではない「方程式」をいかに解くか？という章なのであって、方程式を立てる（方程式を作ることを“立てる”といいます）作業は前の章で簡単にやっておきましょう、とそういう流れなのです。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

tent-m8 · Answer

No.1です。補足します。

文字式の等式は、方程式、恒等式、それ以外、の三つに分かれます。

a=b+4 は、方程式ではありません。
aとbの組み合わせは、無数に存在します。
特定の数、という条件に反します。

これで、大丈夫でしょうか？

noname#26743 · Answer

No４です

a=b+4　という式は、方程式とよぶのでしょうか？
に答えると、これは方程式とは言わないです。

なぜなら、すでに理解されれいすようですが何通りも答えが考えられるからです。（たとえば、兄の身長a＝１７０ 弟の身長ｂ＝１６６ とか 兄が１７５ｃｍだったら弟は１７１ｃｍというように・・・。）
こういうのは方程式ではないです。
もう少し補足すると、「兄の身長は１７０ｃｍであり、弟の身長ｂはそれより４ｃｍ低いという。弟の身長を求めよ」という問題ならば、ｂ＝１７０－４ という方程式になり、ｂ＝１６６ （ｃｍ） という１つだけ答えが求められます（わざわざ方程式たてるまでもありませんが・・・）。これは、兄の身長が１７０ｃｍというように問題文のなかで記載されているから１つだけ答えが出せるのです。

ちょっと難しいことを加えると、a=b+4 という式も、連立方程式（中２２ででてくるかな？）になれば答えが出せるので、方程式といえるかも知れません・・・。ただ、単独で出てきたときはいずれにせよ方程式ではないです。
ck134 さんのように疑問に感じたことを追求することはとっても良いことと思います。数学というのはそのときわからなくてもあとになって「なんだ、こんな簡単なことか・・」とひらめくことがあるものです。たぶん、私も当時はそこそこ勉強ができるほうでしたが、この２つのはっきりとした違いはわかっていなかったと思います。
（長文失礼しました・・・）

Willyt · Answer

>この場合だと、a+b=c　も、やはり方程式なのでしょうか。
　建前で言えば、a,b,c のうち少なくとも一つが未知数なら方程式です。そうでなければ等式です。
　一般的にa,b,c は未知数には使わず、定数に使う文字ですから、そうなら等式に過ぎません。

mmk2000 · Answer

方程式⊂文字式の等式

だと思ってました…違うんでしょうか。。。？

「方程式」と「文字式の等式」のちがい

方程式と文字式の等式は、違います。

方程式は少なくとも一つの未知数を含む二つの数式が等号または不等号で繋がれているものです。

x＋2x=3x

中学生の教育教科課程について把握しているはずの専門家でも意見がわかれているみたいですね。

あまり好きではないのですが、一応wikiへの参考リンクをつけておきます。

No.1です。

No４です

>この場合だと、a+b=c も、やはり方程式なのでしょうか。

ずいぶん紛糾してしまっているようなので、もう一度、僕の立場を明確にしておきます。

方程式⊂文字式の等式

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