正方形に円が重なる面積の問題です。

正方形に、正方形の一辺を半径とする円を、正方形の各頂点を中心として、４っつ書きます。この時、中央にできる、膨らんだ正方形に似た感じの面積を求めよ。
この問題、実は小学生に解けて、大学生には解けないと言われている問題です。この問題どう解きますか？自分は正解知りません。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#40706 回答日時： 2006/10/18 23:40

真ん中の◇（？）をＡ、４すみの三角（？）をＢ、４辺にくっついている薄っぺらい三角（？）をＣとします。

Ａ＋３Ｂ＋２Ｃ　が円の１／４ですね。

四角形はＡ＋４Ｂ＋４Ｃ　　ですね。

またこの四角形は　４つの１／４円－３Ａ－２×４Ｂですね。（図の重なり具合を考えてください。）

こんな感じで考えれば、私立中学のお受験でがんばっている小学生なら解けます。

がんばってみてください。

No.8 回答者： activedolphin 回答日時： 2006/10/19 03:16

正方形の１辺をxとして

{(3-3√3)x^2 + πx}/3
という式に到達しました。

No.7 回答者： good777 回答日時： 2006/10/19 03:00

解法はおおむね2パターンあります。

ウィキペディア＞算数＞受験算数の平面図形＞膨四角形

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/a/a6/Bo …
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/e/ef/Bo …

参考URL：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/a/a6/Bo …

No.6 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2006/10/19 02:45

銀杏型の部分を求めて４倍して正方形から引きます

No.5 回答者： debut 回答日時： 2006/10/19 02:44

やり方はいろいろあるんでしょうが、中３ぐらいでないと無理じゃあないでしょうか。

正方形の１辺を２ａとします。
円の交点４つを順に結んで、四角形(正方形)をかけば、求める面積は、その正方形の面積と、小さな弓形４つの面積を合わせたものです。そして、その弓形部分の１つは、中心角30°、半径が２ａの扇形の面積から頂角30°、等しい辺が２ａの二等辺三角形の面積を引けば求められます。
扇形は４ａ^2π×(1/12)＝ａ^2π/３。
二等辺三角形は中３でやる辺の比２：１：√３を利用して、ａ^2。
４つの交点を結んでできた正方形は、比と三平方から、４ａ^2(２－√３)。

よって、求める面積は、４(ａ^2π/３－ａ^2)＋４ａ^2(２－√３)
整理して、(１－√３＋π/３)×４ａ^2。
（はじめの正方形の面積の、(１－√３＋π/３)倍になるということです）

No.4 回答者： springside 回答日時： 2006/10/19 00:19

まず、√が登場するので小学生の算数の範囲では無理です。

また、積分を使えば簡単なので、大学生なら当然解けます。

正方形（今、1辺の長さを10とします）の頂点に関し、左上、左下、右下、右上の順にA,B,C,Dとする。
面積を求めたい部分（膨らんだ正方形に似た感じの図形）の上の頂点をE、右の頂点をFとする。
（ポイントは、三角形EBCは正三角形になることと、∠EBC=60°なので扇形ABEの中心角が30°になることの２つを利用することです）

ステップ１：
図形AEDの面積 = 正方形ABCD - 三角形EBC - 扇形ABE*2
=10^2 - (1/2)*10*5√3 - π*10^2*(30/360)*2
=100-25√3-(50/3)π

ステップ２：
図形DEFの面積 = 正方形ABCD - 扇形ABC - 図形AED*2
=10^2 - π*10^2*(1/4) - 2{100-25√3-(50/3)π}
=-100+50√3+(25/3)π

ステップ３：
求めたい面積 = 正方形ABCD - 図形AED*4 - 図形DEF*4
=10^2 - 4{100-25√3-(50/3)π} - 4{-100+50√3+(25/3)π}
=100-100√3+(100/3)π
（約31.5）

No.3 回答者： noname#40706 回答日時： 2006/10/19 00:18

Ａ２です　　すみません　訂正です

＜＜またこの四角形は　４つの１／４円－３Ａ－２×４Ｂですね。（図の重なり具合を考えてください。）＞＞

の箇所、


すみません　＜４つの１／４円－３Ａ－４Ｂ＞

ですかね

No.1 回答者： Joe_Fox 回答日時： 2006/10/18 23:32

ひとつだけ確認させてください。

実は私もまったくわかりませんが、
そのご質問にある「図」が「右」に書いてあるのに、
問題文では「左の図の…」となっていて、
正解は「左の図なんてない」
という類の問題ではないですよね？

解き方はこれから真剣に考えて見ますが、念のための確認でした。