空間における三角形の面積は外積で求められない？

平面における三角形の面積は、外積（平行四辺形の面積）を
２で割って求められました。
空間における三角形の面積を求めようと、外積を求め２で割っても
三角形の面積になりませんでした。
なぜなのでしょうか？

No.8 ベストアンサー 回答者： usatan2 回答日時： 2006/10/22 22:38

＞外積＝ベクトルなんでしょうか？

そうです！！　ここが、質問者さんが勘違いされていたところですね。
外積と呼ばずに「ベクトル積」と呼べ（覚えれ）ば、誤解しなかったですね。
これに対し、内積はスカラー積とも呼ばれています。

参考URL：http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula …

No.7 回答者： usatan2 回答日時： 2006/10/21 16:55

質問者の計算間違いです。

私が計算したらちゃんと√21になりましたけど。

ベクトルAB(-1,2,0)とベクトルAC(-1,0,4)の外積は
（8,4,2)というベクトルです。

このベクトルの大きさ（すなわち面積）は
√(8*8 + 4*4 + 2*2) = 2√21
です。

この回答へのお礼

外積＝ベクトルなんでしょうか？
なんだかこんがらがってきました。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2006/10/22 19:23

No.6 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/10/21 15:40

そもそも「外積」を間違っています．

（高校レベルでの）ベクトルの外積というのは，
二つの空間ベクトルに対して，
それらと同時に直交するベクトルの一つを求める計算です．
平面ベクトルに対しては定義されません．

あなたがいってるのはむしろ「行列式」というものです．
a c
b d
という行列に対して，ad-bcを行列式といいますが，
平面ベクトル(a,b)，(c,d)によって作られる
平行四辺形の面積が|ad-bc|で表されるので
三角形の面積はその半分になります．

これの三次元版はこんな簡単なものではありませんし，
三次元の場合は「平行六面体」が相手になります．
つまり，三つの空間ベクトル(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)に対して
これらが作る平行六面体の体積は
行列
a d g
b e h
c f i
の行列式の絶対値です．更に，三次正方行列の行列式は
aei+dhc+gbf-gec-hfa-idbという複雑な形です．
＃もっと次元があがっても同じで，行列式の絶対値を
＃体積要素とかいうこともあります

この回答への補足

二次元でのA(a,b)、B(c,d)に対しての行列式
ad-bcの絶対値は平行四辺形の”面積”を表す。

三次元でのA(a,b,c),B(d,e,f)に対しての行列式
bf-ec+cd-fa+ae-dbの絶対値は平行六面体の”体積”を表す。

二次元の時は平行四辺形を半分にすれば三角形だから
三角形の面積が求まるが、三次元の時は行列式の絶対値は
体積を表すからそれを半分にしても立体がふたつに分割される
だけで三角形にならないから、面積など求められるわけもない。

・・・ということでよろしいでしょうか？そして私の間違いは、
”たまたま”2次元で通用することを3次元に持ち込んだことによる
とかんがえてよろしいでしょうか？

補足日時：2006/10/21 16:51

No.5 回答者： noname#101087 回答日時： 2006/10/21 15:33

ちゃんと、外積の「絶対値」の半分を求めましたか？

AとBの外積の「絶対値」は、
　SQRT{(A.A)(B.B)-(A.B)^2}　---　(A.B)はAとBの内積
に等しいはずなので、検算してみて。

この回答への補足

SQRT{(A.A)(B.B)-(A.B)^2}=SQRT{5*17-1^2}=SQRT{84}
△ABC=1/2*SQRT{84}=√21
すごいです！できました！
でも、何故2次元の場合は行列（？）の絶対値を２で割ればよかったのに、
3次元の場合は行列（？）と外積の絶対値が全く関係ないのでしょうか？
（以下は2次元と3次元の違いを自分なりにまとめてみた結果です。）

【2次元】
A(a,b)、B(c,d)
内積　A・B＝(a,b)・(c,d)＝√（a^2+b^2）*√（c^2+d^2）*cosθ
外積　A×B＝(a,b)×(c,d)＝√（a^2+b^2）*√（c^2+d^2）*sinθ
外積の絶対値　|ad-bc|
行列？　ad-bc

【3次元】
A(a,b,c),B(d,e,f)
内積　A・B＝(a,b,c)・(d,e,f)＝√（a^2+b^2+c^2）*√（d^2+e^2+f^2）*cosθ
外積　A×B＝(a,b,c)×(d,e,f)＝√（a^2+b^2+c^2）*√（d^2+e^2+f^2）*sinθ
外積の絶対値　|bf-ec+cd-fa+ae-db|ではなく、SQRT{(A.A)(B.B)-(A.B)^2}
行列？　bf-ec+cd-fa+ae-db

補足日時：2006/10/21 16:42

No.4 回答者： kumoringo 回答日時： 2006/10/21 15:29

三次元ベクトル二つの外積は、三次元ベクトルです。

外積の定義、および外積と平行四辺形の面積の関係を確認しましょう。

この回答へのお礼

実はこの質問をする前に、Googleで”外積”で検索してそのページの
検索結果全てに目を通しました。外積の定義も確認したのですが、
外積＝三角形の2倍という思い込みが強すぎて、ただの演算（？）という
ことに気づきませんでした。三角形の面積はあくまで副次的なものなんですね。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2006/10/21 16:04

No.3 回答者： tim-pow 回答日時： 2006/10/21 14:55

２辺の長さを求めても駄目でしょう？

底辺×高さ÷２だもの

この回答への補足

よろしければもう少しわかりやすい説明を
していただけないでしょうか？
２辺の長さというのがよくわかりません。
よろしくお願いします。

補足日時：2006/10/21 15:58

No.2 回答者： gg13 回答日時： 2006/10/21 14:01

　あなたの計算過程をお示しください。

この回答への補足

問題は次のようになります、
A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,4)が与えられていて三角形の面積を求めよ、
というものです。
私は、ベクトルAB(-1,2,0)とベクトルAC(-1,0,4)から外積が、
｜8-0+0+4+0+2｜=14　となったので、2で割って7を答えとしましたが、
答えは√21でした。

補足日時：2006/10/21 14:31

No.1 回答者： CHIPDALE77 回答日時： 2006/10/21 13:54

実際の問題はどのようなものでしょうか？

この回答への補足

問題は次のようになります、
A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,4)が与えられていて三角形の面積を求めよ、
というものです。
私は、ベクトルAB(-1,2,0)とベクトルAC(-1,0,4)から外積が、
｜8-0+0+4+0+2｜=14　となったので、2で割って7を答えとしましたが、
答えは√21でした。

補足日時：2006/10/21 14:26