![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
X=R-{1}とおくと
f: X -> X , f(x)=(x+2)/(x-1)
とかける
y=f(x)とおき,xについて解けば,x=(y+2)/(y-1)
したがって,g: X -> X, g(x)=(x+2)(x-1) とおくと
f(g(x))=x,g(f(x))=x したがって,gはfの逆関数.
こういう簡単な写像の場合は実際に構成したほうが早いでしょう.
根拠は
写像 f: X -> Y, g: Y -> X に対して
fg=id,gf=id であれば,f,gはともに全単射で
互いに逆写像となるということです.
証明は簡単.
f(x1)=f(x2)とすると,x1=g(f(x1))=g(f(x2))=x2 (gf=idより)
よってfは単射.
Yの任意の元yに対して
y=f(g(y)) (fg=idより)
したがって,x=g(y)とおくことで y=f(x) つまりfは全射
gについても同様.互いに逆であることは明らか.
#これをばらした命題である,
#gf=idとなるgがあればfは単射,
#fg=idとなるgがあればfは全射というのも
#よくある練習問題
No.2さん
>逆写像は全単射の場合でないと存在しないと思います
逆写像の存在は全射性よりも単射性の方が本質です.
単射でありさえすれば,像だけを考えることで
「逆写像」は構成可能です.
その典型的な例がarcsin,arccosとか,
y=x^2 (x>=0)の逆関数でしょう.
したがって,本来ならば,逆写像を考える場合は
もとの写像の値域側の集合も明示する必要があります.
#単射ではないときでも逆を考えたいようなケースが
#群とかの準同型定理ですね
No.2
- 回答日時:
逆写像は全単射の場合でないと存在しないと思います。
従って単射が存在することと全射が存在することを証明しなければなりません。Rを実数領域として(但しx=1を除く)(1)単射条件はx1、x2∈Rがf(x1)=f(x2)を満たしているときx1=x2となることを示せればわけで、今の場合(x1+2)/(x1-2)=(x2+2)/(x2-2)として式を展開整理するとx1=x2が得られますのでfは単射であるということになります。
(2)次に全射であることはy∈Rを任意にとり、このときy=f(x)となるx∈Rが存在することを示せばよいので、今そのようなxが存在したと仮定しy=f(x)=(x+2)/(x-1)をxについて解いてx=(y+2)/(y-1)が得られます。y∈Rに対してx=(y+2)/(y-1)∈Rをとればf(x)=(x+2)/(x-1)にx=(y+2)/(y-1)を代入しその結果f(x)=yとなります。つまりfは全射となります。
以上でfは単射でかつ全射であることを示せましたから逆写像が存在することが証明できました。尚、逆写像f^(-1)は。fが全射になることの証明からf^(-1)(y)=(y+2)/(y-1)であることになります。
以上、ゴタゴタと書きましたが適当な集合論のテキストを見て理解を深めていただければと。。。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学の問題についての質問です。 R上の関数f(x)=(x-1)(x-5)(x-10)+1について、こ 3 2023/02/12 17:24
- 高校 合成関数の定義域につきまして 1 2022/05/18 17:26
- 数学 原始関数の存在性の証明について 数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。 R 6 2022/11/13 19:19
- 数学 逆像法について 高校生です -1≦X≦2のとき、y=2x-3の値域を求めよ。 この問題を、集合X={ 4 2022/05/01 17:38
- 数学 代数学 環 1 2022/10/12 17:29
- その他(教育・科学・学問) 関数、写像について 1 2022/04/10 23:45
- 数学 逆像法について 高校生です -1≦x≦2のとき、y=2x-3の値域を求めよ。 この問題を、xについて 4 2022/05/01 23:11
- 数学 数学の問題でモヤモヤしてます 7 2023/08/15 21:49
- 数学 離散数学(情報数学)の写像の問題です。 急ぎです、わかる頭のいい方答えだけでも教えていただきたいです 3 2022/04/13 15:04
- 数学 分からない課題で困っています。 どなたか、教えてください。 変数多項式環R[x]からRに対して φ: 2 2022/07/06 11:28
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
NからN×Nの全単写
-
この写像がwell definedである...
-
射と写像の違い
-
大学数学の問題です。
-
写像がwell-definedであること...
-
ψの一意性は準同型定理に限らず...
-
閉部分空間
-
合成写像gofが全射 かつ 写像g...
-
写像の問題についてご教授願い...
-
LaTeX 写像式を描きたい
-
線形写像の核空間と像空間の次...
-
線形、非線型ってどういう意味...
-
ユークリッド平面と連続開写像
-
「十人十色」ならば「百人百色...
-
関数の逆写像
-
線形写像であることを示すには...
-
基本的な事ですが…(単射、全射...
-
大問2番の線型写像かどうかのや...
-
微分方程式の線形、非線形の証明
-
線形判別と2次判別
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
線形、非線型ってどういう意味...
-
内積の ・内積あるいはエルミー...
-
四次対称群S4が可解群であるこ...
-
「十人十色」ならば「百人百色...
-
微分方程式の線形、非線形の証明
-
全射・部分写像の個数の問題
-
初めての複素関数の勉強
-
写像がwell-definedであること...
-
射と写像の違い
-
NからN×Nの全単写
-
f^(-1)(f(P))=Pを示したい
-
基本的な事ですが…(単射、全射...
-
線形・非線形って何ですか?
-
有限アーベル群の基本定理の証...
-
行列の階数
-
代数学「素体」
-
この写像がwell definedである...
-
写像の基本定理:B1⊂B2⇒f~(B1)⊂...
-
族(数学)について
-
同型写像の証明問題
おすすめ情報