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A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
不静定はりを解く場合、基本として、力の釣り合いだけでは条件が不足するので、何か条件を追加しなければならない、ということはおわかりですよね。
で、その追加する無条件として、変形に対する条件を用います。#1様のご回答は、これを、最も基本に忠実に示しています。簡単に考えるなら・・次のようにしてみてください。
片持ちばり(静定)の、先端のたわみは計算できますよね。そこで、解きたい梁と同じ長さの片持ちばりを考えます。
(1)片持ち梁の中央に集中荷重Wが作用したときの先端のたわみd1を求める。
(2)片持ち梁の先端に上向きに大きさXの集中荷重が作用したときのたわみd2を求める。
d2の中には、当然、Xが未知数のまま入っています。
(3)解きたい梁は、実際には先端は支持されているので、先端ではたわみはゼロ。つまりd1-d2=0
これで未知数Xが求まります。これが、支持端の反力になります。後は、中央に下向きにW、先端に上向きにXという荷重が作用している片持ちばりを計算すれば、求める解が出てきます。
上の例では、未知数として支持端の反力を取りましたが、もちろん、固定端のモーメント反力を未知数とすることも出来ます。この場合は、単純梁について、
(1)中央にWが作用したときの固定端(となる予定のヒンジ端)のたわみ角を求める。
(2)固定端(となる予定のヒンジ端)に未知のモーメント荷重Xが作用したときの固定端(となる予定のヒンジ端)のたわみ角を求める。
(3) 実は固定端ではたわみ角はゼロなので、(1)と(2)のたわみ角を(符号も考慮した上で)足してゼロとおけば、未知数Xが求まります。
この二つは、余力法というテクニックです。
なお、3連モーメント法など、不静定梁を解く公式を知っていれば、すぐ式をたてることも出来ます。
No.1
- 回答日時:
梁の長さをL(小文字だと見にくいので),固定端をx=0,支持端をx=Lとします.
符号の定義は文章では面倒なので適当に考えてください.
支持端の反力をR1,固定端の反力をR2,として
まずは,釣り合いの式
R1 + R2 = W … (1)
固定端のモーメントをM2,とすれば,
モーメントの釣り合いの式から
R1*L/2 = R2*L/2 + M2 … (2)
位置xでの曲げモーメントをM(x)とすれば,
x<L/2で M(x) = R2*x + M2
x>L/2で M(x) = R2*x + M2 - W(x-L/2)
位置xでの梁のたわみをw(x)として,
梁のたわみ方程式より(これは既知ってことでいいですかね)
w''(x) = -M(x)/EI
境界条件は,位置x=0は固定端だから,たわみ角・たわみがともに0,位置x=Lは支持端なんで,たわみ0ってことで,
w(0) = w'(0) = 0
w(L) = 0
の3条件です.
w(x)式は2階微分方程式なんで,とりあえず w(0) = w'(0) = 0 の条件だけを使って,この微分方程式を解くと,
x<L/2で w(x) = -1/(6EI)*(R2*x + 3*M2)
x>L/2で w(x) = -1/(48EI)*[L^3*W - 6L^2*Wx + 12LWx^2 + 8x^2{3*M2 + x(R2 - W)}]
となります.
このとき,微分方程式をとくときに無視した境界条件は w(L)=0 は
24*M2+8L*R2-L*W = 0 … (3)
と表されます.
で,(1),(2),(3)を未知数,R1,R2,M2について解くと,
R1 = 5W/16
R2 = 11W/16
M2 = -3LW/16
となって,R1での反力,R2での反力が求まります.
また,荷重点でのたわみw(L/2)は,
w(L/2) = 7L^2*W/768EI
となることが確認できます.
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