木琴の鍵盤の長さは等差数列になっていますか？

木琴の鍵盤の長さは、「等差数列」に近い,というのは本当なのでしょうか？見た目では等比数列の長さになっていないのかなぁと思いました。

No.1 ベストアンサー 回答者： hkd9001 回答日時： 2007/01/18 22:50

epitaxy さん、こんばんは！

なるほど、面白いところに目を止められましたね。まず理論的には、ほぼ等比数列になっていると考えていいですね。その理由は以下の通りです：

　１オクターブは、12コの音階（半音階）で出来ています。で、「オクターブ」というのは、音の振動数が２倍の関係にあることを指します。つまり「音階が12コ高くなるたびに、振動数が２倍になっている」わけです。この条件を満たすには、隣の音階同士の振動数の関係が「12√２（２の１２乗根 = 12回掛け算すると２になるような数））倍」になっている必要があります。これは、まさしく「等比数列」ですね。
　ところで、これを「鍵盤の長さ」に置き換えると「音階が12コ高くなるたびに、鍵盤の長さが半分になっている」ということになるのですが、これも上記と同じような原理で「等比数列」となります。

　あと「等差数列に近い」という件ですが、これも　まぁまぁ正しい、といえます。その理由は以下の通りです：

ためしに、１オクターブ離れた鍵盤の長さを、等差数列と等比数列で計算し、その誤差を出してみました（等差に対する等比の値、絶対値のみ示した）。これをどう評価するかは個人差があると思いますが、私は　まぁまぁ良い近似ではないかな、と思いました。

ド----1.5％
ド#---2.8％
レ----3.9％
レ#---4.8％
ミ----5.4％
ファ--5.7％
ファ#-5.8％
ソ----5.5％
ソ#---5.4％
ラ----4.9％
ラ#---3.8％
シ----2.2％
ド----0.0％

以上、回答になっていますでしょうか？もしご不明の点がありましたら、追加でご質問どうぞ。

No.2 回答者： hkd9001 回答日時： 2007/01/18 22:57

#1 です。

訂正です。

ド----0.0％
ド#---1.5％
レ----2.8％
レ#---3.9％
ミ----4.8％
ファ--5.4％
ファ#-5.7％
ソ----5.8％
ソ#---5.5％
ラ----4.9％
ラ#---3.8％
シ----2.2％
ド----0.0％

が正しい数値です。ごめんなさい！

No.3 回答者： postro 回答日時： 2007/01/19 11:37

等差数列より等比数列に近いと考えた方が妥当でしょうね。

等差数列の一般項は
a[n]=d*n + k
（ただし公差d ,初項d+k ）
等比数列の一般項は
a[n]=a*r^(n-1)
（ただし公比r ,初項a）
それぞれのグラフを考えれば、等差数列は傾きdの直線、
等比数列は曲線（指数関数グラフの曲線）です。
木琴の並んだ鍵盤をながめるとカーブを描いた曲線ですから、等比数列に近い、と考えたいですね。
それに、これがもし直線だったら、見た目も安っぽいです。
話はちょっと外れますが、では、鍵盤の長さは厳密に等比数列で決めれば良いかと言うと、そういうわけでもありません。
鍵盤の裏はえぐってあって、ただの板ではありません。
このえぐりかたで音の減衰、音色がまったく変わります。（このえぐり方は楽器製造の重要なノウハウのひとつです）
もちろん音程も変わります。
調律（音程調整）は裏を少しずつ削りながら行うのです。
というわけで、鍵盤の音程は長さだけで決定させているわけではないということです。
ここで問題：
裏を削ると音程は（高くなる、低くなる）
もし削りすぎてしまった場合、（逆調整の方法はある、捨てるしかない）

すみませんが、この正解は書き込むことはできませんのであらかじめご了解ください。