漸化式 コインをひっくり返す

５枚のコインが一列に並んでいる。この中から無作為に1枚選んでひっくり返すという操作をｎ回行った後でｋ枚が表である確率をP_n(k)とする。P_0(0)=1、P_n(-1)=0、P_n(6)=0として以下の問いに答えよ
（１）P_n+1(k)をP_n(k-1)、P_n(k+1)で表せ
（２）ｎ回後に表を向いているコインの枚数の期待値をE_nとして、E_nを求めよ

この問題に取り組んでいます
(1)の漸化式なのですが、P_n+1(k)＝1/6-k＊P_n(k-1)＋1/k+1P_n(k+1)
としたのですがあっているでしょうか？
(2)というのはΣｋP_n(k)を考えればいいのでしょうか？その時に(1)からP_n(k)は求まるのでしょうか？？
回答いただければありがたいです。お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/02/01 22:11

n+1回目にk枚表になるのは、

(1)n回目にk-1枚表で、5-(k-1)枚の裏から1枚選んで表にする
(2)n回目にk+1枚表で、k+1枚の表から1枚選んで裏にする
ですか。
(1)の確率は、Pn(k-1)×{5-(k-1)}/5
(2)の確率は、Pn(k+1)×(k+1)/5
なので、
P_n+1(k)＝Pn(k-1)×{5-(k-1)}/5＋Pn(k+1)×(k+1)/5…Ａ
となるでしょうか。
でも1回目の状態では表は必ず1枚、すなわちP1(1)=1
2回目の状態では表は0枚か2枚・・・
なので、Ａはnが小さいところではk=0,1,2,3,4,5としては考えられない。
nが小さいところで、具体的に調べてＡがk=0,1,2,3,4,5としても
成り立つnを求める。（n≧5かな？）

Ａをもとに期待値を求める。kに関して和をとると右辺に期待値に
なりそうな項が出ているのでできそうな気がしたが・・・
うまくいきませんでした。

この漸化式から何となく破産問題を思い出す。
（自分も興味を持ちました。）
中途半端ですみません・・・一応わかったところまで。

No.3 回答者： koko_u 回答日時： 2007/02/01 22:29

結局 P_n(k) は P_n(0),...,P_n(5) しかないのでそれを一つのベクトル P_n と思えば、行列の巾乗を求める問題になるんじゃない。

計算してないけどね。。。

No.1 回答者： koko_u 回答日時： 2007/02/01 21:31

>(1)の漸化式なのですが、P_n+1(k)＝1/6-k＊P_n(k-1)＋1/k+1P_n(k+1)

>としたのですがあっているでしょうか？
その漸化式の導出過程を書けばアドバイスが貰えるのにね。