No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「応用解析要論」(田代嘉宏著、森北出版)p.45より。
0(t<λ)
U(t-λ)= 1/2(t=λ)
1(t>λ) (λ>0)
ですから、この定義より、
L(U(t-λ))=∫(0→∞)[e^(-st)*U(t-λ)]dt
=∫(λ→∞)[e^(-st)]dt
なので、変数変換τ=t-λを行えば、dτ=dtであり、s>0のとき、
L(U(t-λ))=∫(0→∞)[e^(-s(τ+λ))]dt
=e^(-sλ)∫(0→∞)[e^(-sτ)]dτ
=e^(-sλ)L(1)
=(e^(-sλ))/s
ということだそうです。
分からなかったら補足ください。自分もうろ覚えなんで、再回答できるかどうか自信ないですけど・・・。
No.4
- 回答日時:
uはヘビサイド関数(単位ステップ関数)だからhと書くことにしましょう
g(t)の片側ラプラス変換をS[g(t)](s)とかくと
S[g(t)](s)≡∫(0≦t<∞)dt・g(t)・exp(-s・t)
片側ラプラス変換は右側指数増加な関数であっても変換できます
これはδ(t)をラプラス変換すると考え方によって
S[δ(t)](s)≡1または
S[δ(t)](s)≡1/2または
S[δ(t)](s)≡0である
積分範囲の境界に0があるから致命的です
インパルス応答を片側ラプラス変換する際には一理あるのですが
通常の信号は0から始まると決めつけると不都合なことが多いのです
信号の始まりが決定できない場合には無力です
また確率計算には利用しにくくなります(だから結局使用しない)
g(t)の両側ラプラス変換をL[g(t)](s)とかくと
L[g(t)](s)≡∫(-∞<t<∞)dt・g(t)・exp(-s・t)
両側ラプラス変換は片側ラプラス変換で発生した矛盾は発生せず
L[δ(t)](s)≡1である
両側ラプラス変換は左側急減少な関数なら右側指数増加な関数にも適用できます
例えば実数τが存在してt<τならばg(t)≡0であるときです
これは信号には始まりがあるが何時始まってもいいということです
従って人工的に積分範囲を決めた片側ラプラス変換を使うのをやめて両側ラプラス変換を使いましょう
両側ラプラス変換の公式は片側ラプラス変換よりもきれいで簡単です
両側ラプラス変換表:
L[a・f(t)+b・g(t)](s)=a・L[f(t)](s)+b・L[g(t)](s)
L[g’(t)](s)=s・L[g(t)](s)
L[∫(-∞<τ<t)dτ・g(τ)](s)=L[g(t)](s)/s
L[∫(-∞<τ<∞)dτ・f(τ)・g(t-τ)](s)=L[f(t)](s)・L[g(t)](s)
L[g(t-a)](s)=exp(-a・s)・L[g(t)](s)
L[g(t)・exp(-a・t)](s)=L[g(t)](s+a)
L[δ(t)](s)=1
L[h(t)・t^α](s)=Γ(α+1)/s^(α+1)
L[h(t)・cos(ω・t)](s)=s/(s^2+ω^2)
L[h(t)・sin(ω・t)](s)=ω/(s^2+ω^2)
例えば合わせ技として
L[h(t-a)・(t-a)^α](s)=exp(-a・s)・Γ(α+1)/s^(α+1)
αが0以上の整数nのとき
L[h(t-a)・(t-a)^n](s)=exp(-a・s)・n!/s^(n+1)
h(t-a)とδ(t-a)の両側ラプラス変換はaがどんな実数であっても直接定義式により求めると
L[h(t-a)](s)=
∫(-∞<t<∞)dt・h(t-a)・exp(-s・t)=
∫(a≦t<∞)dt・exp(-s・t)=exp(-s・a)/s
L[δ(t-a)](s)=
∫(-∞<t<∞)dt・δ(t-a)・exp(-s・t)=exp(-a・t)
h(t-a)とδ(t-a)の片側ラプラス変換を直接定義式により求めると
0<aのとき
S[h(t-a)](s)=
∫(0≦t<∞)dt・h(t-a)・exp(-s・t)=
∫(a≦t<∞)dt・exp(-s・t)=exp(-s・a)/s
S[δ(t-a)](s)=
∫(0≦t<∞)dt・δ(t-a)・exp(-s・t)=exp(-a・t)
a<0のとき
S[h(t-a)](s)=
∫(0≦t<∞)dt・h(t-a)・exp(-s・t)=
∫(0≦t<∞)dt・exp(-s・t)=1/s
S[δ(t-a)](s)=
∫(0≦t<∞)dt・δ(t-a)・exp(-s・t)=0
a=0のとき
S[h(t)](s)=
∫(0≦t<∞)dt・h(t)・exp(-s・t)=
∫(0≦t<∞)dt・exp(-s・t)=1/s
S[δ(t)](s)=
∫(0≦t<∞)dt・δ(t)・exp(-s・t)=0または1/2または1
このように片側ラプラス変換は扱いにくいし適用範囲が狭いし公式が汚いし不便なのです
最初に始めた人に眼力がなかったためにこのような不便な変換が広まってしまいました
まるでマイクロソフトのwindowsですね
No.3
- 回答日時:
f(t)のラプラス変換したものをL[f(t)](s)とでも書く。
L[u(t-a)](s)は、may-may-jpさんの方法で求めて、
インパルス関数のほうは、
L[δ(t-a)](s) = L[u'(t-a)](s) = ∫(t=0~∞)u'(t-a)*exp(-st)dt
から部分積分を使ったら解けるような気がします。
微分演算子sとか積分演算子1/sとか位相をずらす演算子e^(-st)みたいなのがあったような・・・
すべてにおいてうろ覚えなので、自信なしです。ごめんなさい。
うちの院試、制御工学が圧倒的にちょろかったのに。(笑)
No.2
- 回答日時:
学校のレポートだと困るので、ヒントだけ。
わかっているかもしれませんが、
ラプラス変換の定義式は、
∞
L(f(t))=∫ f(t)*exp(-st)dt (sは定数と考えてOK!)
0
ですね?
f(t)=u(t-a)
0 (0<t<a)
1 (a<=t)
f(t)=δ(t-a)
1 (t=a)
0 (t><a) <- tがaでない時。
ですね?
積分は分割して計算できるので、
t<aの時と、a<=tの時に分けて計算したら答えが出ます。
ちなみに、数学の問題は、図を書いてみると以外とわかりやすいです。
PS:ちゃんとつたわるかな?
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