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等速円運動のときの
求心力の式
F = M*V^2/r    (Mは質量、Vは速さ、rは半径)

この式のVは“等速”つまり、速さは変化しないという前提のもとで、
F = M*V^2/r という式を導き出しているのに、

宙返りジェットコースターのような、
不等速円運動でも使われているのは何故でしょうか?

例えば宙返りジェットコースターの
高さが最高になる点での運動方程式は
(下向きを正と考え、質量をM、
そのときの速さをv、半径をr、垂直抗力Nとし、
観測者は地上から見ているとする)

MV^2/r = Mg + N

となっています。

このVは明らかに等速ではないのに、
F=MV^2/r の式が使えるのは何故でしょうか?

A 回答 (4件)

F=MV^2/r の式は何処にも等速でなければならないとは書いてありませんよ。

Vは変数であり、rがコンスタントなら遠心力FがVの変化に応じて刻々変わるだけのハナシです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
やっと理解できました

お礼日時:2007/03/25 04:06

ご質問の不等速円運動というネーミングは面白いですね(←失礼)。

確かに等速だから加速度は0ではないの?と思いがちですが、速度はベクトルであることを思い出してください。つまり「大きさ」と「向き」を持っています。等速円運動の場合、円周を回る速度はその「大きさ(速さ)」が同じということで”等速円運動”と呼んでいますが、留意すべきポイントは速度の「向き」は時々刻々変化しているということで、この時間変化から加速度が生じることになります。加速度が生じるとニュートンの運動方程式により力(向心力)が生じます。ということで参考URLにこのあたりの詳しい事情か書かれていますので一度ご覧になってください。
http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/circularM …

参考URL:http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/circularM …
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この回答へのお礼

大変詳しい解説ありがとうございます
おかげでやっとりかいできました。

お礼日時:2007/03/25 04:10

向心力の式は向心加速度から出てきています。


F=maのaの部分が向心加速度です。a=v2/rです。
加速度は運動の各瞬間に対して決まります。運動の速さが変わっても向きが変わっても加速度が出てきます。各瞬間で決まる量ですから同じ運動がその後ずっと続いているということと関係はありません。
ただそれを当てはめるときの運動の例としてよく出てくるのが等速円運動だということです。取り扱いが簡単です。
高校で出てくる振り子の運動は等速円運動ではありません。張力を考えるときは向心加速度の表現が必要になってきます。
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この回答へのお礼

中心に向いた力だけを考えてでてきたのが向心力で
そのほかの向きに働く力が円運動を”不等速” にすると考えることで納得できました。ありがとうございます!

お礼日時:2007/03/25 04:09

弧長をs(t)とするとv=ds/dt,法線方向の加速度anは


an=κv^2=(1/ρ)(ds/dt)^2=(v^2)/ρ
ρは曲率半径です。これらから、掲題の式が得られます。
式の導出はフレネ・セレーの公式を使って導かれるのですが力学の本に出ていると思います。
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Q非等速円運動

半径 r の円筒が、軸O(円筒の円の中心)を水平にして固定されている。
Aは円筒内面の最下点、軸Oと同じ高さの円筒内面の点で左側にあるのをB, 右側にあるのをD、Cは円筒内面の最上点とします。
点Aに質量mの小球を置き、水平左向に初速度vを与える。
重力加速度をgとし、小球と円筒内面との摩擦、空気抵抗は無視できるものとする。

√(2gr)<v<√(5gr) のとき P は 弧BC(小さいほう)の間で円筒内面を離れ放物運動をする。
小球が円筒内面から離れる点をPとし、∠POC = αとします。
この小球がOを通るのはαとvはどのようなときか?

問題ではA、Dにくるときのを聞いていてキレイに求まったのですが
コレは綺麗な数値で出ますでしょうか?
点Oを原点にxy座標を取って(Pでの小球の速さをVとして)
x = Vtcosα - rsinα
y = Vtsinα - gt^2/2 + rcosα
で、未知数二つに式二つなので、解けるかなと思ったのですが、うまい具合にならないから手計算ではきれいには求まらないのでしょうか?

半径 r の円筒が、軸O(円筒の円の中心)を水平にして固定されている。
Aは円筒内面の最下点、軸Oと同じ高さの円筒内面の点で左側にあるのをB, 右側にあるのをD、Cは円筒内面の最上点とします。
点Aに質量mの小球を置き、水平左向に初速度vを与える。
重力加速度をgとし、小球と円筒内面との摩擦、空気抵抗は無視できるものとする。

√(2gr)<v<√(5gr) のとき P は 弧BC(小さいほう)の間で円筒内面を離れ放物運動をする。
小球が円筒内面から離れる点をPとし、∠POC = αとします。
この小球がOを通るのは...続きを読む

Aベストアンサー

Vt cosα - r sinα = 0
より
t = ( r sinα ) / ( V cosα )
これを
Vt sinα - gt^2/2 + r cosα = 0
に代入して
r sin^2α/cosα - gr^2 sin^2α/(2V^2 cos^2α) + r cosα = 0・・・(1)
ここまではよいですよね。
P点では、「遠心力=重力のPO方向の成分」
なので、
mV^2/r = mgr cosα
これより
V^2 = gr^2 cosα・・・(2)
これを (1) 式に代入してやれば cosα だけの方程式になります。( sin^2 = 1 - cos^2 を使用 )
cosαが求まるので、これを (2) に代入して V が求まります。
あとはエネルギー保存則と求められた V から、v が出てきます。

Q垂直抗力=0のときって?

物理の問題を解いてみたら解けなくて解答を見たら「小球が斜面上を運動する条件は、垂直抗力≧0」とありました。私は垂直抗力=0ならば斜面から離れると思っていたので、垂直抗力>0として解いていたため解けなかったようです。私は垂直抗力=0のときって斜面上って言えるのですか?そして垂直抗力が0で面に触れている状態の例を教えていただけませんか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

私も等号を含めるか含めないかについては
どうでもいいと思います。
(特に力学のように工学に密接した分野においては)

垂直抗力>0としたら解けなかった、とありますが、
これも気持ち次第じゃないでしょうか。

斜面上を運動する条件は垂直抗力>0と信じていたとしても、その極限として垂直抗力=0を考えて
この問題を解く、と割り切ればいいのです。
出題者も、そこまで厳密に考えているとは
思えないですよ。

ちなみに私の考えでは、垂直抗力=0は、現実問題
としては、斜面に少なからず凹凸があり、
小球は斜面から離れると思います。
しかし、斜面をより精密に滑らかにすれば、
さきほどよりは斜面から離れなくなると思います。

そしてさらに斜面を滑らかにして…
と繰り返していけば、
「垂直抗力=0で斜面から離れない」といった
現実ではちょっと考えられないような状態に
どんどん近づいていくはずです。

その極限を私はイメージします。
もっとも、これは極限だから、実際にはありえないでしょうけど。

もし工学的に応用したいのであれば、
いくらかの余裕(マージン)を見ておけば
実用上問題ないでしょう。

私も等号を含めるか含めないかについては
どうでもいいと思います。
(特に力学のように工学に密接した分野においては)

垂直抗力>0としたら解けなかった、とありますが、
これも気持ち次第じゃないでしょうか。

斜面上を運動する条件は垂直抗力>0と信じていたとしても、その極限として垂直抗力=0を考えて
この問題を解く、と割り切ればいいのです。
出題者も、そこまで厳密に考えているとは
思えないですよ。

ちなみに私の考えでは、垂直抗力=0は、現実問題
としては、斜面に少なからず...続きを読む

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
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Q円運動の問題で物体が面から離れない条件でよくN≧0をつかいますよね。で

円運動の問題で物体が面から離れない条件でよくN≧0をつかいますよね。でもN=0って面を離れる条件ではないんですか?なんでN>0ではないんですか?

Aベストアンサー

確かに離れていればN=0です。
でもN=0であれば離れているかときかれれば、そうとは限らないという返事になります。

面との接触条件で言うと
N>0から連続的に変化してN=0になります。そのあと離れればN=0が続くのですがN>0からN=0になったところではまだ離れていないのです。物体と面との距離は0です。
N=0で距離=0の点を通過しないとN=0で距離>0の状態にはなれないのです。

鉛直面内の円運動で最高点を通過する速さの条件を求める問題をよくみます。
最高点を通過する速さはv≧√(rg^2)であればいいというのが答えです。この等号はN=0に対応しています。N=0でもまだ離れていませんから最高点を通過すれば直ちにN>0が復活します。N=0ではv>0ですから最高点を通過できます。

Q物理IIの等速円運動の力のつりあいについて

文章だけですみません。

半頂角θの滑らかな円錐を逆さにし、
その内面上を質量mの小球が高さhの水平面内で等速円運動をしている。
小球が円すい面から受ける力Nを求めよ。

という問題で、なぜmgを垂直抗力Nと反対方向に分解した、mgsinθとNがイコールの
N = mg sinθ にならないのか疑問に思い、調べてみたところ、遠心力を考えるというようなことが書かれていましたが、
慣性系から見ると(地上から見ると)、小球には遠心力は働いていませんよね?
小球には mg と N しか働かず、その結果 N と mg の合力である向心力が働く
ということになると思うのですが、何が違うのでしょうか?

分かりづらい文章で申し訳ないですが、どうか教えてください。

Aベストアンサー

>小球には mg と N しか働かず、その結果 N と mg の合力である向心力が働く
ということになると思うのですが、何が違うのでしょうか?

それでいいですよ。
そこからどの方向に分解するべきかを考える必要があるというだけです。

斜面に沿って滑る運動の場合、加速される方向は斜面に沿った向きであり、その方向に垂直な方向は垂直抗力の向きになります。ですので力の釣り合いを考える方向は加速度に垂直な方向、つまりは斜面に垂直な向きとなります。

今回の問題の場合、加速の方向は円錐の中心軸に向かう向き、つまりは重力に垂直な向きです。力のつり合いを考える方向は加速の向きに垂直な方向、つまり重力の働いている向きになるのです。

Q屈折率と波長と周波数の関係について

はじめまして。
ちょっと困っているので助けてください。

屈折率は入射光の波長に依存しますよね?
一般的な傾向として、波長が長くなると
屈折率は小さくなりますよね?
それで、このことを式で説明しようとしたんですが、

屈折率は真空の光速と媒質中の光速の比なので、
n=c/v
媒質中の光の速度、位相速度は
v=fλ
で、周波数と波長に依存します。

ところが!波長と周波数は逆数の関係なので、
この二つの式を使ってしまうと
屈折率が波長に依存しないことになってしまうのです・・・。
どうかこのあたりの説明をおしえてくださいませんか。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ekisyouさん、改めまして初めまして。
ご指摘のようにfとνは全く同じものです。同じ物理量に異なる文字を使ってしまったのは私のミスです、申し訳ありませんでした。また「振動数」「周波数」の二つの言い方を用いましたがこれもどちらでも同じことです。ekisyouさんのこれまでのお考えで正しいです。

前回の回答をもう一度正しく書くと
--------
n=c/v
が屈折率の定義そのものである。真空中の光速cは不変であるからnが波長(または周波数)依存性を持つとしたら媒質中の光速vが周波数依存性を持つことになる。従ってこの式は周波数をfとして
n=c/v(f)
と表すべきものである。
二番目の式
v(f)=fλ
で、vに周波数依存性があることを考えるとfとλは厳密な反比例な関係でない。
--------
となります。大変失礼を致しました。

なお上記の式だけからでは「赤い光の方が紫の光より屈折率が小さくなる理由」は絶対に出てきません。
その理由を説明するためにはどうしても電場中での媒質の分極を考える必要があります。屈折の原因は既にご承知とのことですので、あとはその部分の理解を深めて頂くのみです。
(1)光が媒質中を通過する場合、周囲の媒質を分極させながら進む。
(2)可視光線の範囲であれば、周波数が高くなるほど分極の影響により光は進みにくくなる。
(3)(2)により光の速度が落ちる、ということは即ち屈折率が上がる、ということである。

(2)ですが、共振現象とのアナロジーで考えれば分かりやすいと思います。いまある物体を天井からひもで釣るし、それにさらに紐を付けて手で揺らすこととします。(A)ごくゆっくり揺らす場合は手にはほとんど力はかけなくて済みます。(B )ところが揺らす周期を短くするとだんだんと力が要るようになります。(C)さらに周期を短くして共振周波数に達すると急に力は要らなくなります。(D)そしてさらに揺らす周期を短くしようとすると、あたかもその錘に引張られるような感覚を受けます。(E)そしてさらにずっと周期を短くすると、錘はまったく動かずに錘と手を結んでいる紐だけが振動するようになります。
可視光線はちょうどこの中で(B)の領域になります。すなわち周波数を高くすると、それにつれて周囲の分極があたかも「粘り着く」ようになり、そのために媒質中の光の速度が落ちるのです。(もっとも、「粘り着く」なんて学問的な表現じゃないですね。レポートや論文でこんな表現をしたら怒られそう・・・)

こんな説明でよろしいでしょうか。

参考となりそうなページ:

「光の分散と光学定数の測定」
http://exciton.phys.s.u-tokyo.ac.jp/hikari/section2.htm
同、講義ノート(pdfでダウンロード)
http://exciton.phys.s.u-tokyo.ac.jp/kouginote/opt2k.html

"Kiki's Science Message Board" この中の質問[270]
http://www.hyper-net.ne.jp/bbs/mbspro/pt.cgi?room=janeway

過去の議論例(既にご覧になっているかと思いますが)
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=140630

ekisyouさん、改めまして初めまして。
ご指摘のようにfとνは全く同じものです。同じ物理量に異なる文字を使ってしまったのは私のミスです、申し訳ありませんでした。また「振動数」「周波数」の二つの言い方を用いましたがこれもどちらでも同じことです。ekisyouさんのこれまでのお考えで正しいです。

前回の回答をもう一度正しく書くと
--------
n=c/v
が屈折率の定義そのものである。真空中の光速cは不変であるからnが波長(または周波数)依存性を持つとしたら媒質中の光速vが周波数依存性を持つことにな...続きを読む

Q無限等比級数って?

 今、学校の選択授業で無限等比級数について
調べています.....が、なかなかコレがどういう
ものなのか理解できません。無限等比級数が何なのか、
教えてください!

Aベストアンサー

きっと今テスト前なんですよね?
無限等比級数について、教科書とかぶるかもしれませんが書いてみます。
まず、等比数列はOKですか?

初項がaで、公比がrの場合、第n項はar^(n-1)
になるっていう・・
これは数Aの範囲ですので、もしこれがOKでなかったら教科書で確認してください。

無限等比級数は、この等比数列が無限に続いていて、各項をすべて足してしまいましょうというものです。

なので、
S=a+ar+ar^2+ar^3+.....
となりますね。
等比数列の各項を永遠に足すのです。
ここで、無限等比級数をSとおきましたが、これを求めるには、Sにrをかけたものを作ってみましょう。
Sr=ar+ar^2+ar^3+......
SとSrを比べると。。
Sの第2項以降がSrと一緒になっていますね。
無限の世界で考えているので、Sの第2項以降とSrはまったく一緒と考えてしまって問題ありません。

そこで、S-Srを行うと・・
(1-r)S=a
となるので、
Sすなわち等比級数はa/(1-r)
となるのです。

きっと今テスト前なんですよね?
無限等比級数について、教科書とかぶるかもしれませんが書いてみます。
まず、等比数列はOKですか?

初項がaで、公比がrの場合、第n項はar^(n-1)
になるっていう・・
これは数Aの範囲ですので、もしこれがOKでなかったら教科書で確認してください。

無限等比級数は、この等比数列が無限に続いていて、各項をすべて足してしまいましょうというものです。

なので、
S=a+ar+ar^2+ar^3+.....
となりますね。
等比数列の各項を永遠に足すのです。
こ...続きを読む

Q蒸気圧ってなに?

高校化学IIの気体の分野で『蒸気圧』というのが出てきました。教科書を何度も読んだのですが漠然とした書き方でよく理解できませんでした。蒸気圧とはどんな圧力なのですか?具体的に教えてください。

Aベストアンサー

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できます。
また、油が蒸発しにくいのは油の蒸気圧が非常に低いためであると説明できます。

さきほど、常温での水の飽和蒸気圧が0.02気圧であると述べましたが、これはどういう意味かと言えば、大気圧の内の、2%が水蒸気によるものだということになります。
気体の分圧は気体中の分子の数に比例しますので、空気を構成する分子の内の2%が水の分子であることを意味します。残りの98%のうちの約5分の4が窒素で、約5分の1が酸素ということになります。

ただし、上で述べたのは湿度が100%の場合であり、仮に湿度が60%だとすれば、水の蒸気圧は0.2x0.6=0.012気圧ということになります。

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できま...続きを読む

Q回路の対称性の考え方

よろしくお願い致します。高校物理です。今、特に対称性のある回路について勉強していますがわからないことがあります。

問題
抵抗値rの抵抗線を図のように8本つなぎ、起電力Vの電池を接続した。
Ac間の電流と回路の全抵抗Rを求めよ。

回路は下のとおりです。
           b 
         / | \ 
電池(V)― a -  c―  e ― 電池(V)にもどる
         \ | / 
           d 

わかりにくい図ですが、a, b, c, d, eはすべてつながっています。a, b, e, dを頂点としたひし形で、対角線が入った状態です。そしてその8本のひし形の辺と対角線がすべて抵抗値rの抵抗線でつながれています。

解説では、これをキヒルホッフの法則で解くために、電流を文字でおくのですが、その際に回路の対称性を利用しているらしいのですが、私は、回路の対称性というのが、いまいちよくわかりません。
解説では、回路の対称性より、電池からでるのが、I.
a-b間とa-d間をI2
a-c間をI1
c-b間とc-d間をI3
b-e間と、d-e間をI2+I3
c-e間をI1-2I3とおいています。
ここで疑問なのは、回路がどこを軸にして対称と考えるかということです。
普通数学だと、x軸やy軸に関して対称といいますが、このような回路では、どこが軸になるのでしょうか?
a-eが軸でしょうか?それとも、b-dが軸?
また、私が解説について疑問に思うのはどうして、a-b間とa-d間はI2とおいたのに、a-cだけ違うおき方なのでしょうか?三つともおなじではないのでしょうか?だから、a-b, a-d, a-cともに1/3Iとでもおいたらいいと思うのですが・・・a-cを軸とみているからですか?
同様に、b-eとd-eが同じなのに、c-eだけ違うのも疑問です。

実際、これを解くと、I1=I2=V/2r, I3=0となり、
a-b, a-c, a-dは同じになります。同様に、b-e, c-e, d-eも同じになります。
それなら最初から、a-b, a-c, a-dそして、b-e, c-e, d-eも同じ文字でおけばいいと思いますが、それでもよいでしょうか?
それともこの問題だけたまたまa-b(a-d)とa-cが等しくなっているのでしょうか?

長くなってしまいましたが、
○回路の対称性というのが、何を軸にして対称と考えればいいのか、
○未知の文字を置く際に、どのようにおけばいいのか教えていただけたらと思います。
補足が必要であればさせていただきますので、よろしくお願い致します。

よろしくお願い致します。高校物理です。今、特に対称性のある回路について勉強していますがわからないことがあります。

問題
抵抗値rの抵抗線を図のように8本つなぎ、起電力Vの電池を接続した。
Ac間の電流と回路の全抵抗Rを求めよ。

回路は下のとおりです。
           b 
         / | \ 
電池(V)― a -  c―  e ― 電池(V)にもどる
         \ | / 
           d 

わかりにくい図ですが、a, b, c, d, eはすべてつなが...続きを読む

Aベストアンサー

>それなら最初から、a-b, a-c, a-dそして、b-e, c-e, d-eも同じ文字でおけばいいと思いますが、それでもよいでしょうか?

図から見る限り、a-c-eについて対称です。cとb、dとは異なっています。出ている線の数で考えるとわかりやすいでしょう。b、dからは3本出ていますがcからは4本出ています。

電流I1とI2が等しくなったのは全ての抵抗が等しいとしたからです。対称性からではありません。Rab=Rad≠Rac、Rbe=Rde≠Rceの場合やはりbとdが対称というのは成り立っています。この場合はIab=Iad≠Iacです。

全ての抵抗が等しいという場合であれば次の様に考えても電流が等しいということが出てきます。
cb、cdを外します。
この場合ab、ac、adは全く対等です。b、c、dからは全て2本出ています。b、c、dの電位は同じです。ここで結線cb、cdを入れます。同じ電位のところを結んでも電流は流れません。


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