grad(1/r)を求める問題で

位置ベクトルrがr=ix+jy+kzのとき、grad(1/r)を求めよ。ただしi,j,kは直交座標系の単位ベクトルとする。

grad(1/r)=i(∂(r^-1)/∂x)+j(∂(r^-1)/∂y)+k(∂(r^-1)/∂z)
=i(∂(1/(x+y+z))/∂x)+j(∂(1/(x+y+z))/∂y)+k(∂(1/(x+y+z))/∂z)
=-i(1/r^2)-j(1/r^2)-k(1/r^2)
=-(i+j+k)/r^2

というように導出してしまったのですが、これで良いのでしょうか。
どうも、1/r=1/(x+y+z)と捉えてしまっているのが腑に落ちないのですが…

是非、お教えください。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#26313 回答日時： 2007/02/21 10:41

rは、r=ix+jy+kz というベクトルなので

「∂(1/(x+y+z))/∂x」といった書き方をしない方がいいですね。
違う方向のベクトル成分を加えても意味がないからです。
（今の場合、(x+y+z)は、|r|を意味するという積りなのでしょうが）

そして、ベクトルとスカラーを区別して書くことができないので
スカラーを表わすために、|r|^2 と書いた方が良いように思います。

また、人の好みによって違いがあるかもしれませんが、
-(i+j+k)/r^2、や -(i+j+k)/|r|^2といったように（i+j+k）を一括りに
するのは気味が悪い。
面倒でもベクトルであることが分かり、またそれらの成分が分かる
ような書き方、例えば
-i・(1/|r|^2)-j・(1/|r|^2)-k・(1/|r|^2)
とする方が好まれるのではないのでしょうか。

この回答へのお礼

「区別して書く」というのを意識していなかったので、分かりにくい文章になってしまったこと、お詫びします。
最初から勘違いをしていたようなので、もう一度、解きなおしてみようと思います。回答、ありがとうございました。

お礼日時：2007/02/21 18:50

No.4 回答者： jamf0421 回答日時： 2007/02/21 23:32

ごめんなさい。

自分の狭い物理の知識で勘違いです。あとでベクトル場の勾配をかすかに思い出してちょっと本をみました。ベクトル場に対してgrad aを定義できて、二階の混合テンソルになります。それを自分のならった初等的電磁気学等で扱うことが無かったので、スカラーへの作用だけが頭に残ってしまっていました。

この回答へのお礼

スカラーへの作用のみなのだとばかり思っていましたが、そういうわけでもないのですね。これからの参考になりました。
わざわざ調べていただき、どうもありがとうございました。

お礼日時：2007/02/22 05:32

No.3 回答者： jamf0421 回答日時： 2007/02/21 15:06

gradという演算は、ある座標において定まるスカラー量（たとえば部屋の中の各位置に対する温度など）に(∂/∂x, ∂/∂y,∂/∂z)を作用させて勾配のベクトルを作るものです。

位置座標だけあってもgradは計算しようがありません。
おやりになっている式の一行目は1/rというスカラー量に∇を作用させてベクトルを作っている式です。もともとお書きになった定義r=(x, y, z)とは矛盾しています。
次の行でその1/rを1/(x+y+z)としているのはr=x+y+zといっているのと同じですが、意味をなしていません。

この回答へのお礼

あれ？ベクトルrなのに1/rってなんだっけ…と考えてしまったのが今回の間違いの発端です。そういえば、gradはスカラーに作用させるものでしたね。
大変参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2007/02/21 18:58

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2007/02/21 06:28

r=√(x^2+y^2+z^2)ですよ

この回答へのお礼

それですね…なるほど、違和感があるわけです^^;
もう一度計算し直してみます。ありがとうございました。

お礼日時：2007/02/21 18:29