２階微分方程式について

yy"+(y')^2+1=0 解：(x+A)^2+y^2=B^2
の解き方がわかりません。
dy/dx=pとして
d^2y/dx^2=dp/dx=dy/dx・dp/dy=p(dp/dy)
.
yp(dp/dy)+p^2+1=0......(1)問題式にd^2y/dx^2、dy/dx=pを代入する。
p(dp/dy)+p^2/y+y.......(2)両辺に1/yをかける。
.
ベルヌーイ形なので,u=p^2　(du/dy=2p・dp/dy)を代入して、
1/2du/dy+u/y=-y.....(3)
.
uとyの、線形微分方程式として解いて、
u=p^2=1/y^2(-1/2・y^4+C)......(4)
.
p=±1/y√(-1/2・y^4+C)........(5)
この後(5)を積分して解が出ると思うのですが、
(それ以前に考え方自体が間違っているかもしれませんが)
右辺の積分の仕方がわからず解けなくて困っています。
どなたか教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： pascal3141 回答日時： 2007/02/21 18:15

６行目まではいいかと思いますが

yy"+(y')^2+1=0 解：(x+A)^2+y^2=B^2
dy/dx=pとして
d^2y/dx^2=dp/dx=dy/dx・dp/dy=p(dp/dy)
yp(dp/dy)+p^2+1=0
ここから次のように変数分離で解きます。
pdp/(p^2+1)+dy/y=0として、両辺積分。
(1/2)log(p^2+1)+logy=C
２倍して
log(p^2+1)+2logy=log((p^2+1)y^2)=C
(p^2+1)y^2=B^2 (e^C=B^2とおく）
p^2=B^2/(y^2)-1
p=√(B^2-y^2)/y=dy/dx
∫dx=∫y/√(B^2-y^2)dy
ここからy=Bsinθとおいて
x+D=∫Bsinθdθ=Bcosθ
よって、sinθ^2+cosθ^2=1に代入して
(x+D)^2+y^2=B^2

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
何度も質問申し訳ないのですが、
＞(p^2+1)y^2=B^2 (e^C=B^2とおく）
のところで、すぐに、e^C=B^2と置けるというのが理解できません。
この問題特有の置き方なのでしょうか。

お礼日時：2007/02/21 19:06

No.4 回答者： omake4444 回答日時： 2007/02/22 02:06

ANo.2さんではないですが、補足します。

＞＞(p^2+1)y^2=B^2 (e^C=B^2とおく）
＞のところで、すぐに、e^C=B^2と置けるというのが理解できません。
＞この問題特有の置き方なのでしょうか。

これはANo.2さんの回答内においての下記変換を予測？しているからかと思います。違ったらすみません。。
＞∫dx=∫y/√(B^2-y^2)dy
＞ここからy=Bsinθとおいて
＞x+D=∫Bsinθdθ=Bcosθ

回答２ではe^ＣをすぐにＢ^2を置きなおしてしますが、適当な定数でもかまいません。
たとえばこのときに　Ｂ^2=Ｄ　ととりあえず置いて計算を進めると、
∫y/√(Ｄ-y^2)dy　を解くことになります。
この形は
∫y/√(Ｂ^2-y^2)dy　の積分の形にして　y=Ｂsinθ　と置くと解きやすいことがわかっているので、Ｄ=Ｂ^2　と置きなおして計算します(この辺の置換テクニックは教科書とか公式集とかにあったはず)。

置きなおさずに　y=√Ｄsinθ　で計算するのももちろんアリです。
この場合は(そのままでも正解だとおもいますが)積分をといた後に　Ｄ=Ｂ^2　とすると求める解の形になります。

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました。
私の参考書には、そのような置換の仕方は載っていませんでした。
他の参考書で確認してみます。

お礼日時：2007/02/22 09:01

No.3 回答者： majimiko 回答日時： 2007/02/21 18:21

先の微分恒等式の最右辺が与式の中にあります。

これを最左辺で置き換えると単純な微分方程式になります。

これ以上書くと答え丸書きになるので、以降はご自分でお願いします。

この回答へのお礼

気づきました。ありがとうございました。
早速やってみます。

お礼日時：2007/02/21 18:28

No.1 回答者： majimiko 回答日時： 2007/02/21 17:31

(y^2)"=2(yy')'=2(yy"+(y')^2)

に気付けば単純計算で解けますよ。
（正攻法かどうかは分かりませんが…）

この回答へのお礼

何度も質問すいません。
(y^2)"=2(yy')'=2(yy"+(y')^2)
はどこで利用すればいいのでしょうか。

お礼日時：2007/02/21 17:44