yy''+(y')^2=0の微分方程式の解き方が分かりません。教えて下さい。

yy''+(y')^2=0の微分方程式の解き方が分かりません。教えて下さい。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/08 18:46

z = y' と置くと、

0 = yy'' + (y')^2 = yz' + y'z = (yz)' です。
最後の = は、積の微分法ですね。
この式を積分すると、
A = ∫0 dx = ∫(yz)' dx = yz = yy'　(A は定数) となります。
再度積分すると、
Ax + B = ∫(yy')dx = ∫y dy = (1/2)y^2　(B も定数) です。
中央の = は、置換積分ですね。

ちょっと整頓すると、 y^2 = Cx + D　(C,D は定数) と書けます。
y = ±√(Cx + D) とは、しないのがお勧めです。
y^2 = Cx + D のほうが、x = -D/C での振る舞いをよく記述してますから。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/05/08 16:33

p=y^2

として
↓微分すると
p'=2yy'
↓微分すると
p"=2{yy"+(y')^2}
↓yy"+(y')^2=0だから
p"=0
↓積分すると(積分定数A)
p'=A
↓積分すると(積分定数B)
p=Ax+B
↓p=y^2だから
∴
y^2=Ax+B