sinaiのビリヤードとはどのような話なのでしょうか
統計力学の話だと思って統計力学で調べたんですが、私が調べる限りどんな本にも載ってませんでした
よろしくお願いします

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A 回答 (3件)

ご推測の通り,統計力学の話で


エルゴード問題に関連したことです.

長方形領域の中に障壁を置いておきます.
障壁は凸であるという条件がついています.
障壁の数は1個でなくてもっとあっても良かったような気がしますが
そこはちょっと自信がありません.
で,1個の質点が長方形の壁と障壁の間を完全弾性反射しながら
動くというものです.
もちろん,空気抵抗や転がり抵抗の類は一切ないものとしています.
まさに,理想的ビリヤードですね.
そうすると,質点の速度の大きさは変化しませんから,
質点の位置と速度の方向のみが変数になります.
すなわち,統計力学の相空間は位置と速度の方向で記述されます.
この相空間での質点の運動がエルゴード的であることを
Sinai が示したので,Sinai のビリヤード問題と言われています.

位相空間での運動がエルゴード的とは,
荒く言えば,位相空間での軌道が位相空間を満遍なく埋め尽くす
ということを言います.
もっとくだいて言えば,同じところばかり行ったり来たりして,
行かないところ(あるいは,滅多に行かないところ)があってはダメ
ということです.

他にもエルゴード性が示されているビリヤードがあったと思いますが
今はちょっと思い出せません.
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この回答へのお礼

「え?そんなことだったの?」
という感じです
私が当然のように知っていた話だったんですね
sinaiのビリヤードでどんな分厚い辞書で調べてもなかったものですから、「そんなもの存在しないのでは?」なんて思ってたぐらいなんです
ありがとうございました

お礼日時:2001/01/14 02:28

> スタジアム型、つまり二つの半円で長方形を挟んだ形の場合も、


> エルゴード性が示されていたと思います.

ぎくっ,また背中に冷や汗がたら~....(^^;)

はい,スタジアム型でした.
どうも,恐れ入りましたね.
学会出たときのメモなど引っ張り出してちょっと調べたら,
円や楕円ではエルゴード的にならないらしいです.

最近の微細加工技術の急速発展は驚くべきもので,
ちょっとぼんやりしていると
「え,そんなことできるの?とても信じられん」
になります.

> 私が調べる限りどんな本にも載ってませんでした
> よろしくお願いします

> sinaiのビリヤードでどんな分厚い辞書で調べてもなかったものですから

こういうの好きだな~.
そこらへんの本見ればすぐわかるようなのは,どうも力が入らん.
いや,もちろん私が答えられることなんて,
たかが知れていますが.

エルゴード理論関係のことは,
普通の統計力学のテキストには余り載っていません.
もちろん基礎論として大事なんですが,
テキストの他の部分(例えば,量子統計,相転移,ブラウン運動,線型応答)
などと比べると,非常に異質な感じになってしまうからでしょうか.
量子力学のテキストに観測の問題が余り載っていないのと,
感じは似ていますね.
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この回答へのお礼

いきなり回答を締め切らなくてよかったです
大事な話なのに本に載せないってのはちょっと問題ありですね

お礼日時:2001/01/17 00:17

蛇足です。


スタジアム型、つまり二つの半円で長方形を挟んだ形の場合も、エルゴード性が示されていたと思います。結晶表面にこの形の障壁を作り、電子波を泳がせた実験もなされていたんじゃなかったっけか。

「エルゴード仮説」って、なんだか怪しげで実に良いですね。
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