sinaiのビリヤードとはどのような話なのでしょうか
統計力学の話だと思って統計力学で調べたんですが、私が調べる限りどんな本にも載ってませんでした
よろしくお願いします

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A 回答 (3件)

ご推測の通り,統計力学の話で


エルゴード問題に関連したことです.

長方形領域の中に障壁を置いておきます.
障壁は凸であるという条件がついています.
障壁の数は1個でなくてもっとあっても良かったような気がしますが
そこはちょっと自信がありません.
で,1個の質点が長方形の壁と障壁の間を完全弾性反射しながら
動くというものです.
もちろん,空気抵抗や転がり抵抗の類は一切ないものとしています.
まさに,理想的ビリヤードですね.
そうすると,質点の速度の大きさは変化しませんから,
質点の位置と速度の方向のみが変数になります.
すなわち,統計力学の相空間は位置と速度の方向で記述されます.
この相空間での質点の運動がエルゴード的であることを
Sinai が示したので,Sinai のビリヤード問題と言われています.

位相空間での運動がエルゴード的とは,
荒く言えば,位相空間での軌道が位相空間を満遍なく埋め尽くす
ということを言います.
もっとくだいて言えば,同じところばかり行ったり来たりして,
行かないところ(あるいは,滅多に行かないところ)があってはダメ
ということです.

他にもエルゴード性が示されているビリヤードがあったと思いますが
今はちょっと思い出せません.
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この回答へのお礼

「え?そんなことだったの?」
という感じです
私が当然のように知っていた話だったんですね
sinaiのビリヤードでどんな分厚い辞書で調べてもなかったものですから、「そんなもの存在しないのでは?」なんて思ってたぐらいなんです
ありがとうございました

お礼日時:2001/01/14 02:28

> スタジアム型、つまり二つの半円で長方形を挟んだ形の場合も、


> エルゴード性が示されていたと思います.

ぎくっ,また背中に冷や汗がたら~....(^^;)

はい,スタジアム型でした.
どうも,恐れ入りましたね.
学会出たときのメモなど引っ張り出してちょっと調べたら,
円や楕円ではエルゴード的にならないらしいです.

最近の微細加工技術の急速発展は驚くべきもので,
ちょっとぼんやりしていると
「え,そんなことできるの?とても信じられん」
になります.

> 私が調べる限りどんな本にも載ってませんでした
> よろしくお願いします

> sinaiのビリヤードでどんな分厚い辞書で調べてもなかったものですから

こういうの好きだな~.
そこらへんの本見ればすぐわかるようなのは,どうも力が入らん.
いや,もちろん私が答えられることなんて,
たかが知れていますが.

エルゴード理論関係のことは,
普通の統計力学のテキストには余り載っていません.
もちろん基礎論として大事なんですが,
テキストの他の部分(例えば,量子統計,相転移,ブラウン運動,線型応答)
などと比べると,非常に異質な感じになってしまうからでしょうか.
量子力学のテキストに観測の問題が余り載っていないのと,
感じは似ていますね.
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この回答へのお礼

いきなり回答を締め切らなくてよかったです
大事な話なのに本に載せないってのはちょっと問題ありですね

お礼日時:2001/01/17 00:17

蛇足です。


スタジアム型、つまり二つの半円で長方形を挟んだ形の場合も、エルゴード性が示されていたと思います。結晶表面にこの形の障壁を作り、電子波を泳がせた実験もなされていたんじゃなかったっけか。

「エルゴード仮説」って、なんだか怪しげで実に良いですね。
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紹介してください
購入の際の参考にさせていただきます

Aベストアンサー

前の御二方が仰るように、
・熱力学…マクロスコピックな系に対する現象論的な経験則
・統計力学…力学から出発して定式化

統計力学は、様々な観測量同士の関係式である熱力学を、力学法則から基礎付けようと云う発想から生まれました。

・熱力学は、 10^23 個程度の多粒子系を全体として捉え、そのマクロ量を対象にした関係式を展開しますが、
・統計力学は、系を構成している 10^23 個の個々の粒子の運動から熱力学を再現することが目的であると言っても良いでしょう。

従って、
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「熱力学入門」 佐々真一 共立出版
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「統計力学入門 -愚問からのアプローチ」 高橋康 講談社

前の御二方が仰るように、
・熱力学…マクロスコピックな系に対する現象論的な経験則
・統計力学…力学から出発して定式化

統計力学は、様々な観測量同士の関係式である熱力学を、力学法則から基礎付けようと云う発想から生まれました。

・熱力学は、 10^23 個程度の多粒子系を全体として捉え、そのマクロ量を対象にした関係式を展開しますが、
・統計力学は、系を構成している 10^23 個の個々の粒子の運動から熱力学を再現することが目的であると言っても良いでしょう。

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二つの確立は異なるものです。統計確立P(E)=exp(-βE)/Z と量子力学の確立|c(j)|^2はまっとく次元がことなる概念です。最初に習うのは量子統計は(量子力学的)純粋状態のアンサンブル統計の理論です。

つまり量子力学的な状態は純粋状態φ(n)を考えて物理量は量子力学の期待値<A>=<φ(n)|A|φ(n)> を考えます。さてここで量子力学状態φ(n)だけではなく熱揺らぎのためにφ(m)なんかの場合もあると言う状況を考え、そのときのm状態である確立をボルツマン因子
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と定義されます。ρ=|Ψ><Ψ| の場合には<m|Ψ>=c(m)とすると

Aの量子期待値(混合状態)
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二つの確立は異なるものです。統計確立P(E)=exp(-βE)/Z と量子力学の確立|c(j)|^2はまっとく次元がことなる概念です。最初に習うのは量子統計は(量子力学的)純粋状態のアンサンブル統計の理論です。

つまり量子力学的な状態は純粋状態φ(n)を考えて物理量は量子力学の期待値<A>=<φ(n)|A|φ(n)> を考えます。さてここで量子力学状態φ(n)だけではなく熱揺らぎのためにφ(m)なんかの場合もあると言う状況を考え、そのときのm状態である確立をボルツマン因子
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