sinaiのビリヤードとは？

sinaiのビリヤードとはどのような話なのでしょうか
統計力学の話だと思って統計力学で調べたんですが、私が調べる限りどんな本にも載ってませんでした
よろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2001/01/14 01:10

ご推測の通り，統計力学の話で

エルゴード問題に関連したことです．

長方形領域の中に障壁を置いておきます．
障壁は凸であるという条件がついています．
障壁の数は１個でなくてもっとあっても良かったような気がしますが
そこはちょっと自信がありません．
で，１個の質点が長方形の壁と障壁の間を完全弾性反射しながら
動くというものです．
もちろん，空気抵抗や転がり抵抗の類は一切ないものとしています．
まさに，理想的ビリヤードですね．
そうすると，質点の速度の大きさは変化しませんから，
質点の位置と速度の方向のみが変数になります．
すなわち，統計力学の相空間は位置と速度の方向で記述されます．
この相空間での質点の運動がエルゴード的であることを
Sinai が示したので，Sinai のビリヤード問題と言われています．

位相空間での運動がエルゴード的とは，
荒く言えば，位相空間での軌道が位相空間を満遍なく埋め尽くす
ということを言います．
もっとくだいて言えば，同じところばかり行ったり来たりして，
行かないところ(あるいは，滅多に行かないところ)があってはダメ
ということです．

他にもエルゴード性が示されているビリヤードがあったと思いますが
今はちょっと思い出せません．

この回答へのお礼

「え？そんなことだったの？」
という感じです
私が当然のように知っていた話だったんですね
sinaiのビリヤードでどんな分厚い辞書で調べてもなかったものですから、「そんなもの存在しないのでは？」なんて思ってたぐらいなんです
ありがとうございました

お礼日時：2001/01/14 02:28

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2001/01/16 01:21

> スタジアム型、つまり二つの半円で長方形を挟んだ形の場合も、

> エルゴード性が示されていたと思います．

ぎくっ，また背中に冷や汗がたら～....(^^;)

はい，スタジアム型でした．
どうも，恐れ入りましたね．
学会出たときのメモなど引っ張り出してちょっと調べたら，
円や楕円ではエルゴード的にならないらしいです．

最近の微細加工技術の急速発展は驚くべきもので，
ちょっとぼんやりしていると
「え，そんなことできるの？とても信じられん」
になります．

> 私が調べる限りどんな本にも載ってませんでした
> よろしくお願いします

> sinaiのビリヤードでどんな分厚い辞書で調べてもなかったものですから

こういうの好きだな～．
そこらへんの本見ればすぐわかるようなのは，どうも力が入らん．
いや，もちろん私が答えられることなんて，
たかが知れていますが．

エルゴード理論関係のことは，
普通の統計力学のテキストには余り載っていません．
もちろん基礎論として大事なんですが，
テキストの他の部分(例えば，量子統計，相転移，ブラウン運動，線型応答)
などと比べると，非常に異質な感じになってしまうからでしょうか．
量子力学のテキストに観測の問題が余り載っていないのと，
感じは似ていますね．

この回答へのお礼

いきなり回答を締め切らなくてよかったです
大事な話なのに本に載せないってのはちょっと問題ありですね

お礼日時：2001/01/17 00:17

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2001/01/14 02:14

蛇足です。

スタジアム型、つまり二つの半円で長方形を挟んだ形の場合も、エルゴード性が示されていたと思います。結晶表面にこの形の障壁を作り、電子波を泳がせた実験もなされていたんじゃなかったっけか。

「エルゴード仮説」って、なんだか怪しげで実に良いですね。