円周率の証明

円周率が３．１４１５９・・・となることの証明を
お願いします。
できれば円に内接する正多角形の
辺数を増やして円周率の近似値を求める
以外の方法を教えてください

No.2 回答者： brogie 回答日時： 2002/05/31 07:56

πは級数で求めます。

π/4=1-1/3+1/5-1/7+....
π=16*(1/5-1/(3*5^3)+1/(5*5^5)-...)-(1/239-1/(3*239^3)+...)
上の式は収束が遅いので項数を沢山取らなくてはなりません。
下の式は収束が早い、試してください。
これらの式は、actan（逆三角関数）を展開すると得られます。

No.1 回答者： starground 回答日時： 2002/05/31 00:10

私が以前遊びでやってみたことなんですが，モンテカルロ法

を用いて円周率を求めてみると，なぜか３．１４．．．．と
なったので，書いてみます．
＃ 覚え書きなのであまり参考にならないかもしれませんが．

X軸とY軸をとり，そこに半径が１の４分の１円を書きます．
次に，その円に外接する一辺が１の正方形を書きます．
そして，その正方形の中にXとYの値がそれぞれ０～１の乱数
を発生させます．
このとき，発生させた乱数の回数をNとでもしてください．
次に，その乱数のうち，４分の１円内にプロットされた乱数
の数とAとし，円外（かつ正方形内）にプロットされた乱数の
数をBとでもすると，
正方形と４分の１円の面積比＝そこにプロットされた数の比
という式が成り立ちます．

π/4 : 1 = A : A+B

この式より，πの式に変形すると，

π = 4A / (A+B) = 4A / N

というふうになり，円周率が３．１４．．．．となることが
証明できるのではないかと思います．
＃ 飽くまで乱数が完全な乱数という仮定のもとでの話しですが．

例にプログラムか何か作ってみてブン回してみてはいかがで
しょうか．

この回答へのお礼

ありがとうございました。とても参考になりました！

お礼日時：2002/05/31 00:50