垂心についてお願いします

Question

Oが外心のとき→OA+→OB→OC=→OHとおくとHは三角形ABCの垂心と書かれて
いたのですが、何でこうなるのかわかりません。誰かわかる人感覚でいいので
説明してもらえますか。証明方法は心得ているのですが、感覚がついていけません。

nakaizu · Accepted Answer

御質問の内容と以前の方の回答を見ると
三角形ABCの重心をG、外心をO、垂心をHとするときに→GH=-2→GOであることを感覚的に理解する
ことができれば回答になっていると思われます。

三角形の各頂点を通り、対辺に平行な直線を引きます。全部で3本引けますが、その交点をA',B',C'とすると三角形A'B'C'は元の三角形ABCの長さでは2倍、面積では4倍の三角形になります。
図形に書いてよく見ていると、三角形ABCの垂線は三角形A'B'C'の辺の垂直二等分線であることがわかります。つまり、三角形ABCの垂心は三角形A'B'C'の外心になっています。
三角形ABCと三角形A'B'C'の重心は同じ所ですし、二つの三角形は向きが逆になっていることを考え合わせれば、共通の重心Gから三角形ABCの外心へのベクトル→GOの逆むきにして2倍にしたものが重心からA'B'C'の外心へのベクトル→GHとなることが感覚的に理解できるかと思います。

nakaizu · Answer

＞三角形の各頂点を通り、対辺に平行な直線を引きます。全部で3本引けますが、その交点をA',B',C'とすると三角形A'B'C'は元の三角形ABCの長さでは2倍、面積では4倍の三角形になります。 

合同な三角形を紙で作り、四つを合わせて大きな三角形を作ったら、大きな三角形の辺と中央の三角形の辺が平行だった。と考えればいいでしょう。平行であることは錯角が等しいことからわかります。

重心とは重さの中心で、三角形の場合は重さがない三角形の板を考えて、頂点に同じ重りが付いていたとします。重心の所でこの三角形を針の上に乗せると丁度釣り合います。(この釣り合いがとれる点が重心です。)
さて、頂点Aと頂点Bに付いていた重りを釣り合いがとれたままでそっと動かしていくと、ABの中点まで動かすことができます。つまり重心は移動しません。
線分ABが重さがない棒でできていたとしてその両端に同じ重りが付いていると、重心は中点になります。
このように、図形の重心はその部分にある重りを「その部分の重心」へ移動させても変化しません。
なお頂点A、Bの重りを中点に移動してしまうと頂点Cに重りが1つ辺ABの中点に重りが2つの状態になります。これは重りが一直線上にありますから、重心がCとABの中点をつないだ線分を2:1に内分する点になることがわかります。(重りの個数が違うので、2個ある点の方に1個の点よりも2倍近くなるようにするとこの比率になります。)これで中線を2:1に内分する点が重心になる理由がわかります。

三角形A'B'C'の頂点A'とB'に付いていた重りの半分ずつをA'B'の中点に移動させても重心は同じです。このとき重りは頂点C'と「A'B'の中点」に1つづつ、A'とB'に半分ずつあります。
同様のことを他の頂点でもすると、重りを三角形A'B'C'の中点に1個ずつにかえても重心は移動しないことがわかります。
つまり、三角形ABCの重心と三角形A'B'C'の重心は同じです。

三角形ABCと三角形A'B'C'では全ての長さが2倍になっている(相似といいます)ので、重心と外心の距離も2倍になっています。重心は同じGで、三角形ABCの外心はO、三角形A'B'C'の外心はHでしたので、長さとしては、GH=2GOとなっています。
あとは向きですが、線分AA'は三角形A'B'C'の中線ですので、GはAA'上にあります。つまり、→GAと→GA'は丁度逆むきです。他の頂点でも同じことがいえます。
このことから、重心Gからみると三角形ABCと三角形A'B'C'の対応する点へのベクトルは丁度逆むきになるだろうと予想されます。

oshiete_goo · Answer

恥かきのついでにもう１つ(恥の上塗り?)

＞すると 
「△ABCと△A'B'C'は共通の重心である点G(=G')を相似の中心として逆向き(裏返し)に相似で，相似比は１：２」 [１：(－２) と表現したりする]といえます．よって△ABC上の任意の点Pと△A'B'C'上の対応する点P'とは 
→GP'=-2*→GP の関係にあります． 

ここはさっきの補足では図形的にやりましたが, 最初の案の方針通りにベクトルで示すことも出来ます.

重心G=G'はいえたとして, 
→GA'＋→GB'＋→GC' =→0 もいえましたから, 
→GA'=-(→GB'＋→GC')=-2*→GA   [AはB'C'の中点より]
から →GA'=-2*→GA なので 重心Gに関して２点A,A'は反対側にあってGA:GA'=1:2
である. 同様に →GB'=-2*→GB, →GC'=-2*→GC もいえて,
例えば線分A'B'を任意の比 t:(1-t)に内分する点P'は分点の公式より
→GP'=(1-t)*→GA' + t*→GB' 
     =(1-t)*(-2*→GA) + t*(-2*→GB) [さっきの関係]
     =-2{(1-t)*→GA + t*→GB} 
     =-2*→GP
という関係でABをt:(1-t)に内分する点Pと対応する. 他の線分上でも同様.
よって, 一般に△ABC上の任意の点Pと△A'B'C'上の対応する点P'とは 
→GP'=-2*→GP の関係にある．

oshiete_goo · Answer

補足・訂正です
相変わらず間抜けな回答でお騒がせしてすみません. 
「２つの三角形の重心が一致」の説明が遠回りでした.

例えば２点A,A'を結ぶと. 線分AA'は大きな三角形A'B'C'の中線であるが, 
同時にBCの中点(Mとする)を通っている. (なぜならC'A=AB'で BC//C'B' より)
よってAA'は三角形ABCの中線の１つにもなっている.
すると, ３本の中線の交点が重心なので, 他の中線BB',CC' も考えると, これら３本の交点はただ１つ存在し, この点が２つの三角形の共通重心となる.

このとき, 点G＝G'は 三角形A'B'C'の重心なので 中線A'Aについて A'G：AG＝２:１もいえる．他も同様．

これにより
＞「△ABCと△A'B'C'は共通の重心である点G(=G')を相似の中心として逆向き(裏返し)に相似で，相似比は１：２」
につながるわけです．

oshiete_goo · Answer

nakaizuさんへのお礼と質問者の疑問に対するアドバイス
N0.4 nakaizuさんの説明は本質を突いていて, 直観的理解という点でとてもよい勉強になりました．既知の断片的知識が非常に整理され，すっきりしました．この場を借りてお礼申し上げます．

さて，本来nakaizuさんじきじきにご回答いただくのが筋であり，横槍を入れるつもりはないのですが，質問者は急ぎのようなので，とりあえずのアドバイスを書きます．誤りや不十分な点はご訂正くだされば幸いです．

＞三角形の各頂点を通り、対辺に平行な直線を引きます。全部で3本引けますが、その交点をA',B',C'とすると三角形A'B'C'は元の三角形ABCの長さでは2倍、面積では4倍の三角形になります。 

例えば四角形ABA'Cは AB//CA', AC//BA' より平行四辺形であり, AB=CA' がいえる. 同様にしてAB=B'C も言えて, 結局 A'B'=2AB.
他の対応する辺もそれぞれ2倍と示せて, △A'B'C'は△ABCと相似で相似比は2(辺が2倍, 面積は相似比の2乗で 2^2=4倍). 

＞三角形ABCの垂心は三角形A'B'C'の外心になっています

これはすでに納得してもらえたものとします. 

＞三角形ABCと三角形A'B'C'の重心は同じ所 

直観的には自明なのかも知れませんが, 生徒が「自明」とやると減点対象という危険もあるので, 一応示します.
例えば, △ABCの重心Gを始点として表すと,
先ほどの話で点Cは線分A'B'の中点になっていることより，(→GA'＋→GB')/2＝→GC
同様にして (→GB'＋→GC')/2＝→GA, (→GC'＋→GA')/2＝→GB もいえて，これら３式を辺々加えると
→GA'＋→GB'＋→GC'＝→GA＋→GB＋→GC となるが，左辺は△A'B'C'の重心をG'として 重心の定義より 3*→GG' であり，
一方右辺は 3*→GG＝3*→０＝→０ (始点と終点が同じベクトルは→０でした．)
[重心の定義: 任意の始点 Oに関し (→OA+→OB+→OC)/3=→OG (の3倍)を使っています.]
よって 3*→GG'＝→０ <==> G'=G  (2点G'とGは一致)

すると
「△ABCと△A'B'C'は共通の重心である点G(=G')を相似の中心として逆向き(裏返し)に相似で，相似比は１：２」 [１：(－２) と表現したりする]といえます．よって△ABC上の任意の点Pと△A'B'C'上の対応する点P'とは 
→GP'=-2*→GP の関係にあります．

よって，対応する外心KとK'についても→GK'=-2*→GK であり，一方△ABCの垂心Hと△A'B'C'の外心K'は一致することは既に確かめられたので，結局 →GH=-2*→GK

Umada · Answer

回答後に気付きましたが重心じゃなくて垂心ですね。
垂心だとすると数学的な意味は以下のように考えればよいと思います。
「外心K、重心G、垂心Hがこの順に一直線上に並びKG：GH＝1:2」は「Oが外心のとき→OA+→OB→OC=→OH」と同義ですから、前段がなぜそうなるのか説明しないと説明したことにならないように(少なくとも「感覚的な説明」としては)感じます。

　　　 A
　　　/＼
Ｐ　 /　  ＼
　　/　　　＼
　 /　　Ｏ　　＼ 
　/　　　　　　＼
　￣￣￣￣￣￣￣￣
B　　　　　　　C
　　　　Q

位置ベクトル→OA+→OB+→OCが表す点Hですが、[→OA+→OB]+→OCと分けて考えます。
位置ベクトル[→OA+→OB]で表される点をPとします。
Oが外心であることより、Pは線分ABに関しOと線対称の場所に位置する点です。

同様に→OA+[→OB+→OC]と分けて考えます。
位置ベクトル[→OB+→OC]で表される点をQとします。Qは線分BCに関し、Oと線対称の場所に位置する点です。

→OH=→OP+→OC
ですので、「点Hは点Pから、距離OCだけ離れた円周上にある」ということが言えます。
同様に「点Hは点Qから、距離OAだけ離れた円周上にある」ということになります。
(垂心かどうかはこの段階ではまだ分かりません)

さて四角形OAPBを考えるとこの四角形がひし形であることは容易に分かり、その各辺の長さは外接円の半径(=OA, OB, OC)に一致します。四角形OBQCについても同じです。(Oが外心でなければひし形にはならないことに注意)
また上記の議論から、PH, QHの長さも外接円の半径に等しいことが分かります。
よって四角形HPBQもこれまたひし形になります。
ということは対角線であるBHとPQは直交します。

→PQですが、→PQ=(→AO+→BO)+(→OB+→OC)ですので、結局→ACに等しいということになります。
→BHと→PQは直交するのですから、→BHと→ACも直交します。従って線分BHは垂心を通るということになります。

この議論をもう1回(必要なら2回)繰り返せばHが垂心そのものであることまで言えます。

oshiete_goo · Answer

No.1の回答は質問者の「垂心」と「重心」を誤解されているようです．
幾何学的に深遠な意味があるか否かは筆者は知りませんが，三角形の一般的性質
として，
「外心K，重心G，垂心Hがこの順に一直線上に並び，KG：GH＝１：２」・・・(1)
 というのが初等幾何の結果と理解していますが・・・．

すると重心Gの定義より，（平面に限らず，空間内の）任意の始点（基点）Oに関し
→OA+→OB+→OC=3*→OG は一般に言えて，特に△ABCの外心K（問題文ではOとなっている）を始点に取れば，
→KA+→KB+→KC=3*→KG ・・・(2)
であり，性質(＊)により
→KH=3*→KG ・・・(3)なので，
(2),(3)より
→KA+→KB+→KC=→KH
がいえます．結局性質(1)に尽きるとしか筆者には言いようがありません．
もっと深い理解があるのかどうか，もうしばらく待ってみるのが良いかと思います．

Umada · Answer

Oは必ずしも外心に一致しなくてなくてもよいはずです。(もちろん、外心であったとしても構いません)
空間の任意の一点をPとし、→PA+ →PB+ →PC=3×→PHを満たす点Hが三角形ABCの重心です。

証明方法はご存じとのことですので、ここでは直感的な説明を。
図がうまく描けなくて申し訳ないのですが・・・(逆スラッシュが円マークに化けていたらすみません)

　　　　　 A
　　　　　／\
Ｐ　　　／　 \
　　　／　　　\M'
　　／　　　　 \
　／　　　　　　\
　￣￣￣￣￣￣￣￣
B　　　　M　Q　C


以下、三角形の重心に関するお話を少しだけ書きます。
apple_teaさんは先刻ご承知のことでしょうからおそらくは余分かと思いますが、図形的な意味の確認の上で書かせてください。
----
重心はAMを結ぶ線分と、BM'を結ぶ線分の交点にあることはご存じの通りです。
いまAMとBM'の交点をHとします。
M'からAMに平行に補助線を引き、この補助線がBCと交わる点をQとします。
AM':M'C=1:1ですから、MQ:QCも1:1。
またBM:MCも1:1ですから、結局BM:MQ:QC=2:1:1です。
すなわち、BH:HM'=BM:MQ=2:1。
----
というわけで重心Hは線分BM'を2:1に内分する点ですから、
→PH=(2/3)→PM'+(1/3)→PB　　　(1)
であるのは自明です。内分点を表す位置ベクトルの公式を思い出して頂ければと思います。
またM'はACの中点ですから
→PM'=(1/2){→PA+ →PC}　　　(2)
であることもご承知の通りです。
(2)を(1)に代入すれば
→PH=(1/3){→PA+→PB+→PC}　　　(3)
です。あるいは
→PA+→PB+→PC=3×→PH　　　(3')
と書いてもよく、どのみち「3つの頂点への位置ベクトルの平均が重心」ということです。

垂心についてお願いします

御質問の内容と以前の方の回答を見ると

＞三角形の各頂点を通り、対辺に平行な直線を引きます。

恥かきのついでにもう１つ(恥の上塗り?)

補足・訂正です

nakaizuさんへのお礼と質問者の疑問に対するアドバイス

回答後に気付きましたが重心じゃなくて垂心ですね。

No.1の回答は質問者の「垂心」と「重心」を誤解されているようです．

Oは必ずしも外心に一致しなくてなくてもよいはずです。

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