裏技数学、部分分数分解

ある本に、部分分数分解

1/(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)=A/(x-2)+B/(x-1)+C/(x+1)+D/(x+2)
を見たす実数A,B,C,Dを求めよ

が６０秒で解けると書いてありました。

普通の解法は、右辺を通分して計算し、左右の分子の係数比較をし、連立方程式を解くことと思います。
裏技の解法を教えていただきたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： quantum2000 回答日時： 2007/03/28 02:52

もし与えられた式を満たす実数Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが存在する，とすると，

与式の両辺に （ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ＋２） をかけて，
　　　 １ ＝ Ａ（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ＋２）
　 　　　 ＋ Ｂ（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋２）
　　　　　＋ Ｃ（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ＋２）
　　　　　＋ Ｄ（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ＋１）

ここで，両辺に
　　　ｘ ＝ ２ を代入すると，１ ＝ Ａ＊１＊３＊４ となるから，Ａ ＝ １／１２
　　　ｘ ＝ １ を代入すると，１ ＝ Ｂ＊（－１）＊２＊３ となるから，Ｂ ＝ －１／６
　　　ｘ ＝ －１ を代入すると，１ ＝ Ｃ＊（－３）＊（－２）＊１ となるから，Ｃ ＝ １／６
　　　ｘ ＝ －２ を代入すると，１ ＝ Ｄ＊（－４）＊（－３）＊（－１） となるから，Ｄ ＝ －１／１２
となっていないといけません．　・・・（１）
つまり，Ａ＝１／１２，　Ｂ＝－１／６，　Ｃ＝１／６，　Ｄ＝－１／１２　（答）

なお，この解き方では正しくは，
最後にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ の値が出てきたところ（１）で，
これらの値を元の与式に代入して，与式が実際に成り立っていることを確かめる必要が，
本当はあります．
しかし，これらの値は「題意より，存在するのに決まっています」から，
今は「存在するとしたら，この値以外ではあり得ない」という状況なので，
実際には検算の必要はありません．

蛇足ながら，この問題の解法が「ある本に６０秒で解ける」とあったとのことですが，
その「解法」もその本に載っていたのでしょうか？
載っていたとしたら，どんな「解法」だったのでしょうか？

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/27 21:01

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P=1/(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)
Q=A/(x-2)+B/(x-1)+C/(x+1)+D/(x+2)

ある程度は経験的な感覚、またある程度のＡＢＣＤの対称性、また実践でも多用されるので、裏と言うほどではないですが。また時間も６０秒はかかるとは思います。

R/k=【［1/(x-2)］-［1/(x+2)］】-【［1/(x-1)］-［1/(x+1)］】
=【4/(x-2)(x+2)】-【2/(x-1)(x+1)】

これではダメなので
R/k=【［1/(x-2)］-［1/(x+2)］】-【［2/(x-1)］-［2/(x+1)］】に変更
=【4/(x-2)(x+2)】-4【1/(x-1)(x+1)】
=12/(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)
　　　　　　k=１/12と判明
R=【［(１/12)/(x-2)］+［-(１/12)/(x+2)］】+【［-(１/6)/(x-1)］+［［(１/6)/(x+1)］】
=［(１/12)/(x-2)］+［-(１/6)/(x-1)］+［(１/6)/(x+1)］+［-(１/12)/(x+2)］
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