lim[x→0](sinｘ)/x=1 の厳密な証明、sinｘの定義

Question

高校の教科書では、 
0<ｘ<π/2のとき，面積を考えて、 
(sinｘ)/2<ｘ/2<(tanｘ)/2 
2をかけて、辺々の逆数を取ると， 
cotｘ<1/ｘ<cosecｘ 
辺々にsinｘをかけると， 
cosｘ<sinｘ/ｘ<1 
lim[ｘ→0]cosｘ=1 
挟み撃ちの原理より，lim[ｘ→0]sinｘ/ｘ=1 
と書かれています。 
これを出発点として、(sinx)'=cosxが分かり、三角関数の微積分が構築されます。 

しかし、面積は厳密には、積分で定義され、微積分学の基本定理から、微分の逆演算として計算されます。 
すると、面積を用いて、lim[x→0](sinｘ)/x=1を証明するのは循環論法。 

lim[x→0](sinｘ)/x=1 の厳密な証明を、sinxの定義とともに教えてください。

koko_u_ · Accepted Answer

fjfsgh さんが「曖昧だ」と感じている箇所がどうしても把握できません。

>僕自身の考えとしては、それはできるかもしれないが、とても複雑で、
>それに費やす膨大な時間は無価値だろう。
>それをもとに、lim[x→0](sinｘ)/x=1を証明するのは、たぶん、どの数学者もやっていない。
２つ言いたいことがあって、

一つは無価値ではないということ。今回話題に登っている「角度」や「円弧」の実体が何かを考えることは数学的に非常に有意義なことです。
大きく遠回りして結論に辿り着いたとするならば、ショートカットで結論に辿り着いた時よりも遼かに多くのことを学び、そして得られた結論が fjfsgh さんの中でリアリティを持つでしょう。

もう一つは、ここで私がちょろちょろっと書いたことなど、微々たる量だし、更に厳密性を追及したとしてもさほど複雑ではありません。
数学の世界は私が表面上把握している以上に混沌として複雑怪奇な世界です。

>ANo.13で、
>周長の定義を「内接多角形の周長の上限」とする。
>と書かれていますが、たとえば、円はフラクタルみたいにどこまでも
>細かいギザギザがあるとイメージすると、内接多角形の周長の上限が
>無限大になるかもしれないし。
無限大にならないことを証明したつもりでしたが。
何度も言うように、どこが「曖昧だ」と思うのか書かれていないのでフォローのしようがありません。

koko_u_ · Answer

すっかり忘れてましたが。

個人的な意見ですが、「公理」とする事柄は
・単純であること
・（数学的）直観に訴えるもの
である必要があると考えています。

その意味では、ピタゴラスの定理を公理とするべきではないと考えます。そもそも、ユークリッド幾何学でピタゴラスの定理を導くのは容易だったと思いますが。

>ここの、lim[x→0](sinｘ)/x=1も、定義とほぼ同じ扱いをするのが主流と思います。
同じく、これを「定義」と呼ぶのも承服しかねます。大体にして何を定義しているかも不明です。そんな「定義」を導入するくらいなら、sin x を級数展開で定義した方が余程マシだと思います。

多くの教科書で天下り的に級数展開や積分の逆関数として sin x を「定義」して、定義域を 0 から π/2 に限ると高校で習った sin θ と同じ。と議論を展開しているのは、ひとえにその方が論理の筋として易しいからだと感じています。

しかし、最初からそのような天才的閃きを得たわけではなくて、fjfsgh さんが「曖昧だ」と思われる円弧についての議論を積み重ねて、現在我々が目にする sin x の全貌を得たはずなのです。

>でも、あいまいをゆるせば、lim[x→0](sinｘ)/x=1を幾何学で証明（説明？）することもできると思います。
私は曖昧に説明したつもりはないので、どのような点に曖昧さが残っているのか指摘していただきたい。

今回長々と回答を書いているのは fjfsgh さんの指摘が実数体の連続性や円周の定義について、非常に的を射ていると思ったからです。

厳密さを追及することで、これまであやふやだった点が明確化する過程が数学の最も面白い点の一つだと感じます。

koko_u_ · Answer

>まず、大前提として、直交座標はあるのでしょうか？ないのでしょうか？

>直交座標があれば、それはもう解析を使った説明を了承済みです。
この論理のジャンプがわからない。
デカルト座標は単純に平面上の点を 2つの実数の組(x, y)で表現しているだけでしょう。
弧長が存在してそれを角度の単位として利用するということと、
sin x / x -> 1 ( x -> 0 )が同じことの別表現になっているというのが私の主張です。

>しかし、それは、内接多角形の最大辺を0に近づけたときの
>極限と同じ値になることはまだ示されていません。
>直交座標を使うのなら証明できますが、
>直交座標を使わないのなら証明できないと思います。
やってみよう。

周長の定義を「内接多角形の周長の上限」とする。即ち、
扇形の中心を O、(1, 0)の点を A、もう一方の頂点を P として
周AP の長さ L(P) := sup{ L(P_0,P_1,...,P_n) | L(P_0,...,P_n) は AP を n 分(等分でなくて良い)した、
折れ線(A=P_0, P_1, ..., P_n = P)の長さ }

上界 L(P) が存在するので、L(P) に収束する折れ線の列 K_i = (A=P_{i 0}, P_{i 1},...,P_{i n_i}=P)
(i = 1,2,... )が存在する。

一方で、一辺の長さが 0 に近付く折れ線の列 Q_i = (A=Q_{i0}, Q_{i1}, ... ,Q_{i n_i}=P) を考えよう。
lim_{i->∞}(Q_i の折れ線の長さ) が収束して、その値が L(P) になればよい。

おおよそ次のような議論になると思う。

任意の正数 ε を取る。また上で考えた K_i をひとつ取る。
これらに対して十分大きく j_0 を取れば、折れ線の列 Q_j (j≧j_0) の各辺は ε/(K_iの頂点数) 未満となる。
( Q_j の辺の長さの最大値が 0 に収束するため )

K_i の折れ線の長さと Q_j の折れ線の長さを比較すると、K_i の各頂点で Q_j の折れ線をはみ出すが、
これはε/(K_iの頂点数) で評価できる。結果として、(K_i の折れ線の長さ) - ε ≦ (Q_j の折れ線の長さ) ( j ≧ j_0 )
となるような j_0 を見出すことができる。

L(P) の定義から (Q_j の折れ線の長さ) ≦ L(P) は明らか

(K_i の頂点の長さ) は L(P) に収束するので、ε > 0 に対して | L(P) - (K_i の頂点の長さ) | < ε
となるように i が取れるので、結局十分大きな j_0 を取れば | L(P) - (Q_j の頂点の長さ) | < 2ε ( j ≧ j_0 )

すなわち lim_{i->∞}(Q_i の折れ線の長さ) = L(P)

hugen · Answer

解析概論（高木貞治）をお持ちのようですので詳細は略して
[円弧の長さ]＝supL(Δ)＝lim[|Δ|→0]L(Δ)
＝∫√{(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2}dt

今、単位円　x^2＋y^2＝1 （第一象限）を
x＝√(1-y^2)　と変形する。
y＝t　に対し　x＝√(1-t^2)
つまり、
x＝√(1-t^2)、y＝t　( 0≦t≦b )
これを円弧の媒介変数表示にとると
弧EPの長さ β＝∫[0,b]√{(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2}dt
             ＝∫[0,b]dt/√(1-t^2)

bをyと書き変えて　yの関数
　θ＝∫[0,y]dt/√(1-t^2) 　　　  を考えると
dθ/dy＝1/√(1-y^2)＞0
よって、
θはyについて単調増加かつ連続だから、
逆にθを与えると
θ＝∫[0,y]dt/√(1-t^2) 
をみたす y がただひとつ決まるが、
これは逆関数を意味するから
dy/dθ＝√(1-y^2)
　ｙ＝sinθ　　　と定義して書き替えると
(sinθ) '＝√{1-(sinθ)^2}
 右辺　√{1-(sinθ)^2}　＝cosθ　　　　　と定義すれば
(sinθ) '＝cosθ

また、
∫[0,b]dt/√(1-t^2)＝β　　　　より
sinβ＝b　　であり
cosβ　＝√{1-(sinβ)^2}＝√(1-b^2)＝a
つまり、βは弧EPの長さであり、
a,bは点Pのｘ座標、ｙ座標であったから
sinβ,cosβは、従来の三角関数と一致する。

さて、
sinθ＝f(θ)　と表わせば
lim[x→0](sinｘ)/x＝f '(0)＝cos0＝1　　ですが
(sinθ) '＝cosθ　
がすでに示されているので、
lim[x→0](sinｘ)/x=1
これは、使い道のないものとなります。

ringohatimitu · Answer

No.5です。
私の定義からでも全く問題なく円弧の長さを計算できますよ。ただ積分の変数変換など多少面倒なところもあったかもしれませんが結局単純です。arctanの定義から始まってsinやcosを積分で表せばそれによって円弧を求めるとき変数変換が使えるでしょう。そして最後にπの定義を使うだけです。どこから始めるかは好き好きですね。始めからsinを定義してもよいし級数で定義してもよいですしね。

ただおそらく気になっていると思われるのは純粋幾何的（これまたはっきり言って曖昧な表現ですが）に定義できるのかということだと思います。これは三角関数という実数値から実数値の対応付けを考えてるわけですがそれを考える限り不可能ではないでしょうか？というのは結局「実数」というもので何かしらの「座標」を定義して「点」と「点」（この場合「点」というのは２つの実数の組）の距離（長さ）を定義して円という集合を定義して、そこから出発していくことになりますが、これは完備という概念を含む解析的対象の実数を元に構築されています。実数の構築を解析的対象ではないと仰られるならばそれでこの議論は終わりですが微積分が実数を根底に構築されてる以上座標の導入時点で解析的な手法と言わざるを得ないですね。

koko_u_ · Answer

>大学で習う解析学では、扇形の周長 θ 以前に、点Pの座標が必要です。
>でも、ここは譲歩して、単位円上に、0～2πの数字が等間隔で書かれているとしましょう。
>その代わり、ｘ軸とy軸の上に書かれていた数字は消えます。
>扇形の周長 θ に対する点Pの位置はわかったとして、
>そこからy軸に垂線をおろすと、その足の座標はどうなるのでしょう？
>やはり、その考えには無理があると思います。
なるほど、なるほど。

結局、点 P -> 周長θ の対応はできるとして、その逆写像が定義できるとは限らないという主張ですね。

これは
>大学で習う解析学では、まず、直交座標があり、単位円x^2+y^2=1があり、
>点(1,0)から点P(x,y)(ただし、x^2+y^2=1)までの弧長θを折れ線の上限（実は極限と同じになる）と定義します。
>yに対してθが対応しますが、その逆関数をy=sinθとします。
と何ら意図するところに違いはないように見えます

>円や周長や内接正 n 角形などといった幾何的なことを書くと、その意味はあいまいです。
>すべてを、式や写像の言葉を使って書くと、やはり、大学での解析学での方法しかないと思います。
幾何学的な表現が曖昧だと感じておられるようですが、それは誤解だと思います。

確かに数学的に厳密な記述をする場合、デカルト座標を用いるのが通例ですが、それは「表現方法」の問題であって、ここで本質的な部分は

「点 (0, 1) から長さθ分だけ単位円を反時計まわりに辿ると、点 P の位置が確定する」

ということだと思います。この事実は自明ではなくて、第一象限で単位円上の点(x, y) に対応する周長θを考えた場合の写像 y -> θが連続であり、かつ単調増加であることから得られます。

ここでも、写像 y -> θを具体的にデカルト座標を用いて書き下さなくとも、その定義から連続性や単調増加の性質を議論することが可能です。

mis_take · Answer

ANo2 です。
みなさん，どうしても，「θ＝弧APの長さ」にこだわるようですね。
「θ＝範囲OAPの面積の２倍」は受け入れられませんか？

双曲線関数
x=coshθ＝(e^θ+e^{-θ})/2，y=sinhθ＝(e^θ－e^{-θ})/2
も，「θ＝範囲OAPの面積の２倍」ですよ。
（P(x,y)は双曲線 x^2-y^2=1 上の点，Aは(1,0)，範囲OAPは線分OA,OP,双曲線の弧APと囲まれる部分）

koko_u_ · Answer

>角度＝扇形の周長、ですが、それを、内接多角形の周の上限と定義して、
>その値に対して、円弧の高さを対応させる関数sinxを定義したところで、
>なにも出来ないと思います。
うーん。どのような考察から上記の結論を得ているのかがわかりません。

扇形の周長 x に対して高さを考えることで関数 sin x が定義できることに異論はないのですよね。(我々は sin x について「よく知っている」わけですが、ここではそれらの知識は忘れて、単純に「対応」として x -> sin x が定義できたと考えて下さい)

単位円の内接正 n 角形を考えた時に、この定義と円周の長さを 2π と書くことだけから、正 n 角形の周長が {sin (2π/(2n))}*(2n) となるのがマズいとお考えですか？

いろんなアプローチがあり得るとは思いますが、個人的には π の定義はやはり「直径と周長の比」として定義したいし、sin x も x が第一象限にあるときには、単純に直角三角形の「高さ÷斜辺」として議論を始めたい。

まさかとは思いますが、lime_{n->∞} {sin(2π/(2n))}*(2n) = 2π から、lim_{x->0}(sin x / x) = 1 がわからないということではないですよね。

hugen · Answer

こんなもんでいかがでしょうか？

　単位円を考えて、
点E(1,0)、又　点P(a,b)は第一象限にとる。
弧PE上にPからEに向かって　分点P,Q[1],・・,Q[n-1] をとり
x軸に下した垂線の足を、H,X[1],・・,X[n-1].
線分PHに下した垂線の足を、Y[1],・・,Y[n-1]　　とする。
分点の集合　Δ＝{P,Q[1],・・,Q[n-1],E}
折線PQ[1]・・Q[n-1]Eの長さを　L(Δ)　　とおくと
L(Δ)＝PQ[1]＋・・＋Q[n-1]E
＜(PY[1]+HX[1])＋・・＋(Y[n-1]H+X[n-1]E)＝PH＋HE
したがって、弧EPの長さ supL(Δ) が存在し、それを x とおくと
x＝sup L(Δ)≦PH＋HE
つまり、
x≦sinx＋(1-cosx)
[ 1-cosx＜1-(cosx)^2＝(sinx)^2　　だから]
x＜sinx(1＋sinx)        -------------------------(1)
また、
PH＜PE≦L(Δ)≦sup L(Δ)＝x　　より   sinx＜x  ----(2)
(1) (2) より
sinx＜x＜sinx(1＋sinx)
よって
1＜x/sinx＜1＋sinx
x → +0　とすれば　x/sinx → 1

koko_u_ · Answer

koko_u_ だす。再登場。

>円弧の長さは折れ線の長さの上限で定義する。
>xラジアンになるべき位置の円弧の長さがxになるということは、
>その円弧の折れ線近似の上限がxになるということで、
>それを証明することは円周の長さが内接多角形の周の上限になることの証明と同値、
>そしてそれはlim[x→0]sinx/x=1と同内容。アララ

うむ。問題点が絞れてきましたね(ひとり言)。
1.「円弧の長さが存在する」
2.「πの定義は単位円の円弧の長さ(の半分)をもって定める」
3.「sin x の定義は角度 x を円周 2π との比率(あるいは扇形の周長)として計測して、直角三角形の 底辺÷斜辺」


1. については、「円弧の長さ」を内接する正多角形の周長の極限とすれば実数の連続性から得らえると考えます。(上限をもった単調増加数列は収束する)

この極限値を具体的に数列で表現すると、sin x の定義により、単位円を n 等分した多角形の周長から、数列{sin (2π/(2n))}*(2n) ( n = 1,2,3,...) が得られ、この極限の定義が即ち周長 2π

極限値を求める際に sin x の連続性、微分可能性などの仮定は不要で、ただ実数体の連続性によって、{sin(2π/(2n))}*(2n) の極限が存在することが事前に得られていることに注目したい。

lim[x→0](sinｘ)/x=1 の厳密な証明、sinｘの定義

fjfsgh さんが「曖昧だ」と感じている箇所がどうしても把握できません。

この回答への補足

すっかり忘れてましたが。

この回答への補足

>まず、大前提として、直交座標はあるのでしょうか？ないのでしょうか？

この回答への補足

解析概論（高木貞治）をお持ちのようですので詳細は略して

No.5です。

>大学で習う解析学では、扇形の周長 θ 以前に、点Pの座標が必要です。

ANo2 です。

>角度＝扇形の周長、ですが、それを、内接多角形の周の上限と定義して、

こんなもんでいかがでしょうか？

この回答への補足

koko_u_ だす。

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