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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
まず、四面体の4つの面の面積に対しては、
三角不等式と同様のことが成り立つことは分かると思います。
四面体のヘロンの公式ですが、引用すると、
(12V)^2=a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2-a^2-d^2)+b^2e^2(c^2+a^2+f^2+d^2-b^2-e^2)+c^2f^2(a^2+b^2+d^2+e^2-c^2-f^2)-a^2b^2c^2-a^2e^2f^2-d^2b^2f^2-d^2e^2c^2
複雑であり平面三角形のヘロンの公式のように因数分解できない
ここで、つまづきます。別方面から考えましょう。
四面体の6つの辺に対して、4種の面において、それぞれ三角不等式が成立します。それらは、12個あります。
では、それら12個の不等式が成立すれば、四面体が作られるでしょうか?
さらに別の側面から。
空間の4点A、B、C、Dに対して、
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2≧AC^2+BD^2
が成立します。
では、等号が成立しないことと、四面体ができることとは同値でしょうか?
この回答への補足
>四面体の6つの辺に対して、4種の面において、それぞれ三角不等式が成立します。それらは、12個あります。
では、それら12個の不等式が成立すれば、四面体が作られるでしょうか?
これは、頂点が底面と同じ平面内にあるとき(4点が同一平面内にあるとき)にも成り立つので
四面体の成立条件とはなりません。
>空間の4点A、B、C、Dに対して、
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2≧AC^2+BD^2
が成立します。
では、等号が成立しないことと、四面体ができることとは同値でしょうか?
これについてですが、うまく示すことができません。(私の力不足です。)
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2>AC^2+BD^2 という式が
四面体の成立条件となっているのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
拡張の一つの方向性として、キーワードはヘロンの公式です。
3つの正数a,b,cがあったき、
三角形の成立条件⇔ヘロンの公式における面積が正
です。この証明を書き込んでください。
では、四面体のヘロンの公式を考えてみてください。
これは補足要求でもあります。
補足をいただけたら、続きを書きます。
この回答への補足
>補足をいただけたら、続きを書きます。
では、証明をしてみます。
(必要条件)
a + b > c の時、両辺にcを加えて、2で割るとs > c ⇔ s - c > 0.
同様にしてs - a > 0, s - b > 0.
ここで、仮定よりa,b,cが正なのでs > 0.
よってs(s - a)(s - b)(s - c) > 0. なので必要条件は示されました。
(十分条件)
ヘロンの公式における面積が正なら、s(s - a)(s - b)(s - c) > 0.
仮定よりa,b,cが正なのでs > 0 …(1).
よって(s - a)(s - b)(s - c) > 0.
(ⅰ)左辺の項が全て正の時
s - a > 0 ⇔ (-a + b + c)/2 > 0 ⇔ b + c > a.
同様にして, c + a > b, a + b > c が示される。
(ⅱ)左辺の項の1つが正, 2つが負の時
今、s - a > 0 …(2), s - b < 0 …(3), s - c < 0 …(4)とすると、
(1)~(4)の不等号の向きをそろえて辺々加えると、
2s - a > 2s - b - c ⇔ a < b + c.
同様にして, b < c + a, c < a + b が示される。
(ⅰ), (ⅱ)から十分条件が示されました。
以上より 三角形の成立条件⇔ヘロンの公式における面積が正となります。
No.1
- 回答日時:
>四面体の4辺の長さに関して成り立つ式は....
四面体には6本の辺があります。四辺形のことでしょうか?
もしそうなら、三角不等式をなぞって
「四辺形のどの辺の長さも他の三辺の長さの和より小さい」
とすると、なにか不都合を生じる/生じないのか、考えてみると楽しめそうです。
しかし、
>4つの面について(1)式を適用しても、なんかややこしくなってしまい...
ともおっしゃってますので、やはり四面体の問題なのですか?
ご解答ありがとうございます。
>やはり四面体の問題なのですか?
そうです。辺の数は6本でした。間違えました。
>「四辺形のどの辺の長さも他の三辺の長さの和より小さい」
なるほど、四角形についても考えると面白そうですね。
これは補助線として対角線をかいて考えると、
成り立つことが分かりました。
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