定義域が変化する２次関数の最大・最小

２次関数y＝ｆ（x）＝x＾２－４x＋５・・・(1)がある。定義域０≦x≦ａのときの最大値をＭ、最小値をｍとする。このとき次の問いに答えよ。ただしａ＞０とする。

(1)は変形すると、（x－２）＾２＋１　になります。

この問題の中の１つに、

０＜ａ≦２のとき、Ｍを求めよ。

というのがあるのですが、答えがなぜか「５」になるのです。
問題文からもわかるようにａは０より上だけど０以上ではないのです。
それなのに答えがなぜx＝０を代入したときの値「５」になるのでしょうか？
私は最大値は「なし」だと思うのですが。なぜかというと、ａの値は０をとってはいけないけれど２までの範囲ならどこをとってもいいからです。ようするにａの値は０になるのはいけないけど０に近い１や０．１、０．００１をとることは出来きそのようにすれば、０に近い最大値は正確に定まらないので答えは「なし」になると思うのですが・・・

なぜ答えが「５」になるのか教えて下さい。
本当に困ってます。

No.4 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/04/08 19:57

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こんにちは、

＞問題文からもわかるようにａは０より上だけど０以上ではないのです。
＞私は最大値は「なし」だと思うのですが。
＞ａの値は０をとってはいけないけれど・・・
＞０に近い最大値は正確に定まらないので答えは「なし」になると思うのですが・・・

此の手の出題は＜錯覚＞を招き易いようです。
当方も、未だにこの＜罠＞に落ちます。
もっと＜誤解＞を招き易い問題もあります。
その内に出会うと思いますが、連立二次不等式の片方に文字が含まれる時の共通範囲を求める問題です。

気が付けば、ご自分でも苦笑されるはずです。
まず。グラフを書きます、本問題では正確さは左程必要ありません。

次に、ａ＝１のときを計算します。
ｆ（１）＝ｍ＝　　は面倒なら計算不要です。確認は
ｆ（１）＝ｍ　が最小値であり、
ｆ（０）＝５　が最大値である事がわかればＯＫです。

次に　ａ＝０．１の時を、頭の中で思考実験して見てください。
最小値はｆ（０．１）と変化しますが、
最大値は、変化せずにｆ（０）＝５

そろそろ、気が付いてくるはずです。念のため、
ａ＝０．００００００１　のとき　を思考実験して見て下さい。
最小値はｆ（０．００００００１）
最大値は、ｆ（０）＝５　のままです。

どんなにａが０に近づいても
最小値はｆ（ａ）
最大値はｆ（０）＝５　だと判断出来た瞬間、疑問は解消となります。

さて、この＜錯覚＞の正体は何だったのでしょうか。
この説明は、なかなか難しいですが、
＊感覚的な要素を含みます。
＊０＜ａ≦２の　０　と　ａ　の　間にある。＜　が＜錯覚＞の原因です。
＊逆に定義域外のａ＝０の時を思考実験すると、ｘはただひとつの値０　となり　当然問題自身が成立しない事が判明します。
＊問題が成立するためには＜比喩的に＞書くと＜ａは０よりほんの少しばかり大きい＞必要があると＜感ずれば＞全て終了です。

ＳＥＥ　ＹＯＵ
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No.3 回答者： sak_sak 回答日時： 2007/04/08 18:45

x=0であることは、0≦x≦aかつ0<a≦2と矛盾しません

例えばa=2のときは、0≦x≦2でx=0となることはできますし、
a=0.000000001でも、0≦x≦0.000000001でx=0となることはできます。

No.2 回答者： kapox 回答日時： 2007/04/08 14:25

補足

ａが、Ｘの最大値なので、
Ｘの取りうる範囲としては、
０≦Ｘ≦２なので、
Ｘは０を含んでいる

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/04/08 14:18

この関数の変数は x で定義域に 0 が含まれているから。

a の方は 0 < a <= 2 のとこかにある固定された値と思って下さい。