静止衛星の問題

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質問者：KUGESHO
質問日時：2002/07/07 02:37
回答数：2件

地表から高さｈ（ｍ）の円軌道上を、地球の自転と同じ周期T（ｓ）で、地球の自転と同じ向きに赤道上を回る人工衛星は地上から静止してみえるので静止衛星と言う。地球の質量をM（ｋｇ）、人工衛星の質量をｍ（ｋｇ）、地球の半径をR（ｍ）、地表における重力加速度をｇとする。
1,静止衛星の角速度ω（rad/s）をTを用いて表せ
2,静止衛星の速度ｖ（m/s）をR,h,Tを用いて答えよ
3.静止衛星の加速度a(m/s2)をR,ｈ、Tを用いて答えよ
お答えください・・・・お願いします

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： stomachman
回答日時：2002/07/07 05:39

地球の自転周期T＝人工衛星の公転周期Tを使って、角速度は

ω=2π/T [1/s]
です。地球の中心から測った人工衛星の円軌道の半径は
r=R+h [m]
ですから、速度は半径×角速度で
v = rω = 2π(R+h)/T [m/s]
加速度は半径×角速度×角速度で
a = r(ω^2)=(R+h)(2π/T)^2 [m/s^2]
となります。
ご質問はここまで。地球と人工衛星の質量、および地表での重力加速度は不要です。

次にhを求めてみましょう。地球の引力による加速度は地球の中心との距離の２乗に反比例することから、地球の引力が人工衛星に及ぼす加速度は
ｇ(R/(R+h))^2
となり、人工衛星がどっかに飛んで行ってしまわないためには、これが求心加速度aに等しくなくちゃいけませんから、
a =ｇ(R/(R+h))^2
よって、
(R+h)(2π/T)^2=ｇ(R/(R+h))^2
だから
(R+h)^3=ｇ(RT/(2π))^2
ゆえに
h = (ｇ((RT/(2π))^2))^(1/3)-R
となります。
2πR =(4.0×10^7) [m]
T=8.6×10^4 [s]（≒24時間。実は１年≒365.24日で1+365.24回転するので、(24×365.24/366.24)時間ですけど）
ｇ=9.8[m/s^2]
を使うと、
h=3.6×10^7[m]
が得られます。結局質量M,mは不要です。

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No.1

回答者： acacia7
回答日時：2002/07/07 02:56

なんか・・そのまま！っていう感じですが・・

１。
ω[rad/s]=2π/T

２．
v=2πr/T=2π(R+h)/T

３．
a[m/s^2]=mrω^2=m(R+h)(2π/T)^2

=g(m*M)/r^2=g(m*M)/(R+h)^2

てな感じで・・・

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（１）
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（２）
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Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

　　y
　　↑
　　・→x
　　　＼
　　　→＼
　　　θ　＼
　　　　　　●

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x= l sinθ　　(1)
y= -l cosθ　　(2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
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dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}　　(7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)　　(8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt　　(9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2　←C2は積分定数　　(10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}　　(11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}　　(12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)　　(13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

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Aベストアンサー

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＞なんとなく地球の引力にひっぱられて落ちて来るような気がするのですが。

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＞それとも何らかの推進力があって、ホバリングしているのでしょうか？

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