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地表から高さh(m)の円軌道上を、地球の自転と同じ周期T(s)で、地球の自転と同じ向きに赤道上を回る人工衛星は地上から静止してみえるので静止衛星と言う。地球の質量をM(kg)、人工衛星の質量をm(kg)、地球の半径をR(m)、地表における重力加速度をgとする。
1,静止衛星の角速度ω(rad/s)をTを用いて表せ
2,静止衛星の速度v(m/s)をR,h,Tを用いて答えよ
3.静止衛星の加速度a(m/s2)をR,h、Tを用いて答えよ
お答えください・・・・お願いします

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A 回答 (2件)

地球の自転周期T=人工衛星の公転周期Tを使って、角速度は


ω=2π/T [1/s]
です。地球の中心から測った人工衛星の円軌道の半径は
r=R+h [m]
ですから、速度は半径×角速度で
v = rω = 2π(R+h)/T [m/s]
加速度は半径×角速度×角速度で
a = r(ω^2)=(R+h)(2π/T)^2 [m/s^2]
となります。
ご質問はここまで。地球と人工衛星の質量、および地表での重力加速度は不要です。

次にhを求めてみましょう。地球の引力による加速度は地球の中心との距離の2乗に反比例することから、地球の引力が人工衛星に及ぼす加速度は
g(R/(R+h))^2
となり、人工衛星がどっかに飛んで行ってしまわないためには、これが求心加速度aに等しくなくちゃいけませんから、
a =g(R/(R+h))^2
よって、
(R+h)(2π/T)^2=g(R/(R+h))^2
だから
(R+h)^3=g(RT/(2π))^2
ゆえに
h = (g((RT/(2π))^2))^(1/3)-R
となります。
2πR =(4.0×10^7) [m]
T=8.6×10^4 [s](≒24時間。実は1年≒365.24日で1+365.24回転するので、(24×365.24/366.24)時間ですけど)
g=9.8[m/s^2]
を使うと、
h=3.6×10^7[m]
が得られます。結局質量M,mは不要です。
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なんか・・そのまま!っていう感じですが・・



1。
ω[rad/s]=2π/T

2.
v=2πr/T=2π(R+h)/T

3.
a[m/s^2]=mrω^2=m(R+h)(2π/T)^2

=g(m*M)/r^2=g(m*M)/(R+h)^2

てな感じで・・・
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Q力学の問題について

力学の問題が全く解けなくて困っています!!どうかお願いします!!

(1)質量Mの球対称の惑星の周りを円軌道で周回する質量mの人工衛星の公転角速度の大きさωを、軌道半径rの関数として求めよ。ただし、惑星に固定した座標系を慣性系とみなしてよいとする。また、人工衛星の高度での大気は希薄であり、公転角速度の値への影響は無視してよいとする。


(2)惑星の中心から見た人工衛星の角運動量の大きさを求めよ。


(3)人工衛星の運動エネルギーと位置エネルギー、および力学的エネルギーを求めよ。それらの比がどうなっているか調べよ。ただし位置エネルギーは無限遠を基準にとる。


(4)大気は希薄であるが、人工衛星の運動方向と逆向きに抵抗力を及ぼすとしよう。人工衛星の軌道は近似的に円軌道を保つが、軌道半径は徐々に変化する。角運動量の大きさ、軌道半径、運動エネルギー、位置エネルギー、力学的エネルギー、および速さのそれぞれは増加するか減少するか答えよ。ただし大気の慣性系に対する速度は、人工衛星の速度に比べて無視できるほど小さいとする。


問題が多いのですが、わかるところだけでももちろんいいので本当によろしくお願いいたします!!!

力学の問題が全く解けなくて困っています!!どうかお願いします!!

(1)質量Mの球対称の惑星の周りを円軌道で周回する質量mの人工衛星の公転角速度の大きさωを、軌道半径rの関数として求めよ。ただし、惑星に固定した座標系を慣性系とみなしてよいとする。また、人工衛星の高度での大気は希薄であり、公転角速度の値への影響は無視してよいとする。


(2)惑星の中心から見た人工衛星の角運動量の大きさを求めよ。


(3)人工衛星の運動エネルギーと位置エネルギー、および力学的エネルギーを求めよ。そ...続きを読む

Aベストアンサー

(1)
円運動の方程式
mrω^2 = GMm/r^2
∴ω = √(GM./r^3)

(2)
L = r×mv = r×mrω = mr^2ω( = m√(GMr) )

(3)
K = mv^2/2 = mr^2ω^2/2 ( = GMm/(2r) )
U = -GMm/r = -2K
E = K + U = -K ( = -GMm/(2r) )

(4)
力学的エネルギーは減少するから,ΔE < 0
したがって,
ΔK = -ΔE > 0
ΔU = -2ΔK < 0
Δr < 0
ΔL < 0
v = rω = √(GM/r) より,Δv > 0

となると思います。

Q人工衛星の運動エネルギーと位置エネルギー

こんにちわ

「地球の周りの円軌道上を回る人工衛星がある。その運動エネルギーTと無限遠を基準とした位置エネルギーTとの間には2T=-Uの関係」があるそうです。
これを証明するにはどうしたらいいのでしょう。

それと、手元に物理のテキストなどが無いため「無限遠を基準とする」という言葉自体分からないのですが、そのような言葉について解説してあるページなどありましたら、ご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

今の話ですと,地球の中心からの距離を rとして,
ポテンシャル U(r) は力 F(r) と
(1)  F(r) = - dU(r)/dr
となるように定義されています.
力 F(r) の大きさは GMm/r^2 ですが,
これは引力ですから r 方向(中心から外向き)と逆方向を向いています
(Gは万有引力定数,M は地球の質量,m は人工衛星の質量).
したがって
(2)  F(r) = - GMm/r^2
と考えてください.
(1)(2)を比べると(あるいは積分して)
(3)  U(r) = -GMm/r + (定数)
となることがわかりますが,「無限遠を基準とする」というのは
(4)  U(∞) = 0
となるように選ぶということです.
すなわち(3)の定数はゼロにしなさいということになります.

あとは ADEMU さんご紹介のページにもありますように
遠心力と引力の釣り合いから
(5)  mv^2/r = GMm/r^2
で,両辺に r/2 を掛けると,左辺は
(6)  mv^2/2 = T
右辺は
(7)  GMm/2r = -U/2
になりますから,直ちに
(8)  2T = -U
が得られます.

この関係式は力学でビリアル定理と言われるものの特別な場合になっています.
(8)の係数の2や -1 はどのような系かによって変わります.
調和振動子(ばね+おもりの運動)で,1周期の運動エネルギーの平均値と
ポテンシャルエネルギーの平均値が等しくなっていますが(<T> = <U>),
それもビリアル定理の一例です.

今の話ですと,地球の中心からの距離を rとして,
ポテンシャル U(r) は力 F(r) と
(1)  F(r) = - dU(r)/dr
となるように定義されています.
力 F(r) の大きさは GMm/r^2 ですが,
これは引力ですから r 方向(中心から外向き)と逆方向を向いています
(Gは万有引力定数,M は地球の質量,m は人工衛星の質量).
したがって
(2)  F(r) = - GMm/r^2
と考えてください.
(1)(2)を比べると(あるいは積分して)
(3)  U(r) = -GMm/r + (定数)
となることがわかりますが,「無限遠を基準とする」という...続きを読む

Q単振り子の運動方程式

重力加速度g、質量m、紐の長さl、空気抵抗無視。

単振り子の運動方程式はこうなりますよね。
mlθ"=-mgsinθ
これがよくわからないのです。
どういう座標系についての運動方程式なのですか?

軌道にそってx軸を定めると
θl=x
mx"=-mgsinθ  軌道に沿った運動方程式?
⇔mlθ"=-mgsinθ  どういう座標系の運動方程式なの?
そしてこれの一般解はどういう風になりますか?
初期条件としてt=0でθ=φとします。

Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ  (3)
なわけです。

しかしこの方程式は初等関数の範囲では解くことが出来ません。そこで初等物理の範囲ではθが小さい場合に限って問題を考えることにし、
sinθ≒θ  (4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ  (5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
θ= C sin{√(g/l) t+α} ←Cは定数  (6)
だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2) ←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1 ←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}  (7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)  (8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt  (9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2 ←C2は積分定数  (10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}  (11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}  (12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)  (13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」...続きを読む

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Q静止衛星の速度は幾らか

TVの衛星放送はパラボラアンテナで電波を受信して楽しめます。とても高度な科学技術の世界が日常生活に溶け込んでいます。衛星が地球から見れば静止しているから可能な訳です。不図考えます。静止衛星と言えば、衛星が静止している訳ではなく、地球の回転に同期して運動している訳です。静止衛星の速度は相当複雑な運動速度の式になるでしょう。その場合の基準座標はどのように考えるのでしょうか。宇宙の運動の基準座標等の話になったら複雑すぎて、お手上げですが。

Aベストアンサー

「静止衛星の速度は?」と質問されたら普通の感覚では以下でしょう。やっぱり。:-)


静止軌道は地表から約36,000Km。地球の半径は約6,400Kmですから、二つを合わせて「半径42,400Kmの円の円周を約24時間で回っている」ということですよ。
円周は2πrだから2×3.14×42,400
24時間を秒にすると24×60×60
これを計算すると答えは「秒速約3Km」ですね。

Q静止衛星はどうして静止していられるのですか?

静止衛星は24時間で地球を一周するようになっているので、地表からみると静止しているように見えるそうです。
この場合、重力と衛星の遠心力はつりあっているのでしょうか?
なんとなく地球の引力にひっぱられて落ちて来るような気がするのですが。
それとも何らかの推進力があって、ホバリングしているのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>重力と衛星の遠心力はつりあっているのでしょうか?

つり合っています。

>なんとなく地球の引力にひっぱられて落ちて来るような気がするのですが。

地球に向かって自由落下をしています。
弾丸を水平に打ち出すと速度が速いほど遠くに落ちます。
もっと速くすると地球の裏側へ落ちます。
もっともっと速くすると一周してきて落ちます。
速度が地表面で7.905km/sを超えると衛星になります。

>それとも何らかの推進力があって、ホバリングしているのでしょうか?

静止する為の推進力はなくて最初に初速を付けるだけです。
人工衛星になったら楕円軌道で時折噴射して高度を上げて行き高度35786kmで周回速度が3.08km/sになった時静止した衛星に見えます。

Qメトロノームは「てこの原理」?

メトロノームは「てこの原理」を活用してる。って本当ですか?
なぜ、そう言えるのですか?小学生むきに教えて下さい。

Aベストアンサー

メトロノームはてこの原理で一拍の時間を変えているというのが正しい言い方でしょう。振り子の原理を使っていると言えるかは微妙ですね。
どちらかというと重力で動いていると言うよりは,ばねの力で動いていると言ったほうが良いと思いますので,ぜんまい時計に近いイメージです。ぜんまいの時計も振り子で等時性を取る振り子時計もありますが,腕時計のようにばねと回転子(テンプといいます)で一定のリズムを得ているものもありますから。ただし,振り子は地球の引力,テンプはばねの力を利用しているだけで,等時性の得られる原理はどちらも同じです。
さて,じゃあなにがてこの原理かと言いますと,ばねがメトロノームの腕を回転させるときに錘が遠くにあるとゆっくりにしか動かない。これは遠くの錘を動かすのには力がたくさん要るからです。
この部分についてはてこの原理と言っても良いと思います。
本当はちょっと違うかな・・でも小学生だから慣性モーメントの話をしてもね。。。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q進研模試の過去問を手に入れたいのですが・・・。

単刀直入ですが,進研模試の対策をするために,進研模試の過去問を手に入れたいのですが,学校や塾の先生に頼む他に何か入手する方法はないのでしょうか? 勉強がしっかり出来ているかどうかの確認をするためには進研模試を解くのが,レベル的にも難しすぎず簡単すぎず,良いと言われたので,何回分かの進研模試を解いてみたいと思い,このような質問をするに至ったのです。ご回答,よろしくお願いします。

Aベストアンサー

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
進研の模試もそうですが、教材には相性やレベルがあります。
進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

基礎ができていないのなら基礎、入試標準レベルのところでつっかえているのならそれ、と今自分が何をすべきか、で決めて、それをさっさと終えてください。
最後までそれだけでやり通そうとするから基礎から応用まで、なんて事を言うんです。
そもそも化物に至っては、教科書をきちんと読んでいるのか。理解できるよう読んでいるのか。なんて事が第一です。
その上で参考書、です。
物理は、一読しただけではさっぱり判らなくて当然です。
何度も教科書や参考書を読み、基礎問題を解き、解らなくなってまた教科書参考書に戻る、の繰り返しです。しつこくしつこく。
天才を除けば根負けするかどうかの科目だと思っています。

単語帳は相性次第です。
前書きからしっかり立ち読みし、相性が良さそうな物を選んでください。
当面センターレベルで良いので、さっさと終わらせることです。
現代文は、出口、田村、板野、河合の入試現代文へのアクセス、辺りを。これも前書きからしっかり読んで、やり方を把握したり指示に従ったりしましょう。
古典は知りません。
理系なら、二次私大でで国語を使うのかどうかでどこまでやるかが変わると思います。
あなたなら、伊藤さんの「ビジュアル英文解釈」ができると思います。
最初は易しいですが、最後までやり通したり、その後の「英文解釈教室」まで行けば大した物だと思います。

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ...続きを読む

Q平面のベクトル内積=0で垂直になる理由?

平面と平面の位置関係が垂直になる時、内積がゼロになることに関しまして、

なぜなのかを、可能ならば 直感的に理解したいです。

ベクトルの基本は勉強しましたが・・・ 

突然、「垂直ならば この計算の答えがゼロになる」 と教わっただけで、まだ腑に落ちないでいます。

もしも良い説明がありましたら、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>なぜなのかを、可能ならば 直感的に理解したいです。

visualにいうこととして、幾何学的に考えてはどうですか。

ベクトルA↑とベクトルB↑の内積IPは

IP=A↑・B↑=|A↑||B↑|cosθ

であって|A↑|、|B↑|はベクトルの大きさ、θはA↑、B↑のなす角度です。

IP=A↑・B↑=0



θ=90°

を意味することが解ります。

いいかえるとIP=A↑・B↑はA↑がB↑に落とす影(射影)であって、垂直なら影が0ということです。

0でない場合はA↑とB↑は平行成分を有して、相互に影を落とすということです。


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