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「ある整数Aと24の最大公約数は8で、最小公倍数は168である。Aの値を求めよ。」

 こちらの問題の答えは「56」ということですが、どのようにこの答えを導き出すか悩んでいます。

 「24、8、168」と8に関係する数が並んでいるので8の倍数から探していくのではないかと思いますが、短時間で効果的に答えを導き出す方法はあるのでしょうか。

A 回答 (6件)

a, b の最大公約数を g とすると最小公倍数 l は ab/g



よって ab = gl

今回の場合は A*24 = 8*168
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この回答へのお礼

こんな一発で答えが導き出せる方法があったんですね!驚きました。ありがとうございます。

お礼日時:2007/06/24 16:09

こんにちは、goushoさん。


科学新興新社モノグラフ「整数」をお読みください。
いろんな定理、公式がでてきます。
それを知っていると、答えが一発でわかります。
小学校から大学まで、整数、整数論をきちんと体系的に教える機会がありません。興味があったら、勉強してください。
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Aは8で割り切れるので、A=8kと書ける。


ただし、24=8×3なので、kは3で割り切れない。
(kが3で割り切れると、A=8×3×m=24mとなって、Aと24
の最大公約数が24になってしまう。)
次に、Aは168を割り切るので、
168/A=168/8k=21/k=(3×7)/k
は整数となるが、kは3ではないので、k=7でなくてはならない。
よって、A=8×7=56
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24=2*2*2*3……(i)


8=2*2*2……(ii)
168=2*2*2*3*7……(iii)
と置く。
(i)(ii)より両者とも2*2*2の倍数であるから求める数Aは
2*2*2*a……(v)「aは、2かつ3の倍数ではない」
(i)(v)より公倍数は
2*2*2*3*a……(iv)
(iii)=(iv)となるので
2*2*2*3*a=2*2*2*3*7
a=7
よって(v)に当てはめて
2*2*2*7=56    」
みたいな感じですかね?
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最小公倍数は168である。

ということから
168を素因数で分解すると
2)168
2) 84
2) 42
3) 21
7
なので
168=2^3・3・7とあらわせます。
(^3は3乗、・は掛け算を表します。)

24=2^3・3となるので、Aは24の式で使っていない7の倍数であることが
条件になる事がわかります。
最小公倍数が8ですので、8と7を掛けた56がAだと判ります。
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この回答へのお礼

詳しい解説、ありがとうございます。なるほど、素因数分解を使うとスムーズに解けるのですね。

お礼日時:2007/06/24 16:02

A×?=168


Aには8(=2^3)を約数として持っているので
2^3×?=168
?=21=3×7
2^3×3×7=168
このうち
1)2^3×3×7=168がAだったら24との最大公約数8に反する
2)2^3×3=24がAだったら同上
3)2^3=8がAだったら最小公倍数168に反する
4)2^3×7=56はすべてを満たす。

もっと簡単な方法があるかもしれません。
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