最大公約数と最小公倍数の問題

「ある整数Ａと24の最大公約数は8で、最小公倍数は168である。Ａの値を求めよ。」

　こちらの問題の答えは「56」ということですが、どのようにこの答えを導き出すか悩んでいます。

　「24、8、168」と8に関係する数が並んでいるので8の倍数から探していくのではないかと思いますが、短時間で効果的に答えを導き出す方法はあるのでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/06/24 15:59

a, b の最大公約数を g とすると最小公倍数 l は ab/g

よって ab = gl

今回の場合は A*24 = 8*168

この回答へのお礼

こんな一発で答えが導き出せる方法があったんですね！驚きました。ありがとうございます。

お礼日時：2007/06/24 16:09

No.6 回答者： HANANOKEIJ 回答日時： 2007/06/25 10:02

こんにちは、goushoさん。

科学新興新社モノグラフ「整数」をお読みください。
いろんな定理、公式がでてきます。
それを知っていると、答えが一発でわかります。
小学校から大学まで、整数、整数論をきちんと体系的に教える機会がありません。興味があったら、勉強してください。

No.5 回答者： zk43 回答日時： 2007/06/24 16:09

Aは８で割り切れるので、A＝８ｋと書ける。

ただし、２４＝８×３なので、ｋは３で割り切れない。
（ｋが３で割り切れると、A＝８×３×ｍ＝２４ｍとなって、Aと２４
の最大公約数が２４になってしまう。）
次に、Aは１６８を割り切るので、
１６８／A＝１６８／８ｋ＝２１／ｋ＝（３×７）／ｋ
は整数となるが、ｋは３ではないので、ｋ＝７でなくてはならない。
よって、A＝８×７＝５６

No.4 回答者： wiyocan 回答日時： 2007/06/24 16:04

24=2*2*2*3……(i)

8=2*2*2……(ii)
168=2*2*2*3*7……(iii)
と置く。
(i)（ii）より両者とも2*2*2の倍数であるから求める数Ａは
2*2*2*a……（v）「aは、2かつ3の倍数ではない」
(i)(v)より公倍数は
2*2*2*3*a……（iv）
（iii）＝(iv)となるので
2*2*2*3*a=2*2*2*3*7
a=7
よって（ｖ）に当てはめて
2*2*2*7＝56　　　　」
みたいな感じですかね？

No.2 回答者： rui2007 回答日時： 2007/06/24 15:50

最小公倍数は168である。

ということから
168を素因数で分解すると
2)168
2) 84
2) 42
3) 21
7
なので
168=2^3・3・7とあらわせます。
(^3は３乗、・は掛け算を表します。)

24=2^3・3となるので、Ａは24の式で使っていない7の倍数であることが
条件になる事がわかります。
最小公倍数が8ですので、8と7を掛けた56がＡだと判ります。

この回答へのお礼

詳しい解説、ありがとうございます。なるほど、素因数分解を使うとスムーズに解けるのですね。

お礼日時：2007/06/24 16:02

No.1 回答者： mmk2000 回答日時： 2007/06/24 15:49

A×？＝168

Aには8（＝2＾3）を約数として持っているので
2＾3×？＝168
？＝21＝3×7
2＾3×3×7＝168
このうち
１）2＾3×3×7＝168がAだったら24との最大公約数8に反する
２）2＾3×3＝24がAだったら同上
３）2＾3＝8がAだったら最小公倍数168に反する
４）2＾3×7＝56はすべてを満たす。

もっと簡単な方法があるかもしれません。