実数の次元

1.実数Ｒが有理数Ｑ上の線形空間とみなすことを示す。
2.その時の、次元は無限であることを示す。

上記を示したいのですが、
1.は線形空間の性質を用いて示すことができました。
それで、2.を示したいのですが、
実数Ｒの次元が無限であることは
任意のn(n:自然数）に対して、n個の一次独立なベクトルが存在すること示せばいいと思ったのですが、実際どこから始めていいかわかりません。
教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/06/25 22:57

>実数Ｒの次元が無限であることは

>任意のn(n:自然数）に対して、n個の一次独立なベクトルが存在すること示せばいいと思ったのですが、

任意の自然数 n に対して
q1 a1 + q2 a2 +・・・+qn an=0 （q1, ..., qnは有理数）
ならば
q1 = q2 = ・・・ = qn =0
となるような a1, ..., an を見つければいいだけです．

超越数を使えばよいでしょう．
＃超越数とは，有理数（分母を払えば整数）係数の代数方程式の
＃解とはならない数．eとかπが有名

a1=1, a2=e, a3=e^2, ..., としていけば
これが一次独立になります．

たとえば，n=3とすると
q1 + q2 e + q3 e^2 = 0
ここで，q1, q2, q3 の中で0ではないものがあるとすると
e は代数方程式 q1 + q2 x + q3 x^2 = 0 の解になり矛盾です．

この回答へのお礼

そうですね。無理数を用いれば一次独立になりますね！
助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2007/06/27 01:19

No.4 回答者： zk43 回答日時： 2007/06/26 00:15

有限個の基底x1,…,xnが存在したとすると、Rはq1x1+…qnxnという数

全体になる。ここに、q1,…,qnは有理数。
ところがQは可算なので、直積Q×…×Qも可算であり、q1x1+…qnxn
という数全体も可算になる。
Rは非可算なので矛盾である。

また、有理係数の代数方程式の解にはなりえない超越数というのがある
ので、そのひとつをxとすると、任意のnに対して、qnx^n+…+q1x=0とな
るのは、q1=…=qn=0となる場合のみで、x,x^2,…,x^nは一次独立。
つまり、無限個の一次独立なものがある。

無限個の一次独立なベクトルから生成される空間の濃度は、係数の取り
方から考えるとQの部分集合全体の集合の濃度で、Qの濃度より大きくな
って、Rの濃度に等しくなり、これらの無限個の一次独立なベクトルは
Rの基底になると思いますが。

No.2 回答者： ---------- 回答日時： 2007/06/25 22:50

√m（ただし、mは素数）

っていうものは無限個あって
しかも、それから張られる線形空間は独立。
さらに、√mを全部使って張った線形空間より
実数空間の方が大きいんだから
無限次元っていえると思いますけど。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/06/25 22:40

任意の n に対して、n 個の一次独立なベクトルを見付けるということは、

有理数体 Q の n次拡大体を見出すことだから、ちょっと難しそう。

単純に、円分体 Q(ζ_n) : ζ_n は原始 n 乗根 を考えれば、[Q(ζ_n)∩R : Q] = φ(n)/2 (φはオイラー関数)だ。

あるいはもっと単純に R と Q の濃度を考えれば、有限次元ではあり得ない。

[R : Q] は可算無限でもなさそうだが、これまたちょっと難しそう。