べき乗数列の和の公式

べき乗数列の和の公式は、数学界で一体どこまで算出されているのでしょうか。
n
Σ(k^m)＝？　
k=1
手計算で６乗まで解き、規則性を確かめたので、どこまで当てはまるか知りたいのです。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2007/07/13 02:14

m=10までのべき乗数列の和の公式を書いておきます。

昔（今から20年以上前に）、m=100までは行かなかったと思うけど公式を導いたことがありますよ。公式を導くのは簡単でしたが、関心はそれを因数分解できるものは全て因数分解したり規則性も調べましたが見つかりませんでした。今は便利な数式処理ソフトがありますのでm=100位なら因数分解した形で瞬時に公式を求めてくれます。m=1000だと僕のPCで6分掛かりました。多分因数分解に時間が食われるのだと思います。
m=10まで書いておきますね。
m=1→Sn=n(n+1)/2
m=2→Sn=n(n+1)(2n+1)/6
m=3→Sn=(n^2){(n+1)^2}/4
m=4→Sn=n(n+1)(2n+1)(3(n^2)+3n-1)/30
m=5→Sn=(n^2)(2(n^2)+2n-1){(n+1)^2}/12
m=6→Sn=n(n+1)(2n+1)(3(n^4)+6(n^3)-3n+1)/42
m=7→Sn=(n^2){(n+1)^2}(3(n^4)+6(n^3)-(n^2)-4n+2)/24
m=8→Sn=n(n+1)(2n+1)(5(n^6)+15(n^5)+5(n^4)-15(n^3)-(n^2)+9n-3)/90
m=9→Sn=(n^2){(n+1)^2}((n^2)+n-1)(2(n^4)+4(n^3)-(n^2)-3n+2)/20
m=10→Sn=n(n+1)(2n+1)((n^2)+n-1)(3(n^6)+9(n^5)+2(n^4)-11(n^3)+3(n^2)+10n-5)/66
入力するのに疲れました。

この回答へのお礼

公式を事細かにありがとうございます。
便利な数式処理ソフトとは驚きです。

お礼日時：2007/07/14 01:26

No.4 回答者： Suue 回答日時： 2007/07/13 21:03

因数分解した式でも規則性がありますが、展開した式にも規則性があります。

ここでは、
ｆ[１]（ｎ）　＝　ｎ（ｎ＋１）／２
ｆ[２]（ｎ）　＝　ｎ（ｎ＋１）（２＋１）／６
ｆ[３]（ｎ）　＝　ｎ＾2（ｎ＋１）＾2　／４
のように表します。

この式を展開して、
ｆ[１]（ｎ）をｎで積分して２をかける
ｆ[２]（ｎ）をｎで積分して３をかける
ｆ[３]（ｎ）をｎで積分して４をかける
……

という操作をしてみてください。規則性が見つかるはずです。（すでに見つけていたようでしたらすみません。）
私も高校２年生のときにこの累乗の和について１年かけて研究し、一般項がベルヌーイ数で表されることが証明できました。ベルヌーイ数は、tanxのマクローリン展開に出てきたり、リーマン・ゼータ関数にも登場したりと、なかなか神秘的な数列です。

また、因数分解の式でも、ｎ^2（ｎ＋１）＾2　や、ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）を因数にもつかどうかについても規則があります。

この回答へのお礼

研究・証明のお話をありがとうございます。
ますますベルヌーイ数に興味がわきます。

お礼日時：2007/07/14 01:30

No.3 回答者： proto 回答日時： 2007/07/13 12:41

べき和の公式の一般形はベルヌーイ数を用いて表され

　　Σ[k=1,n]{k^(p-1)} = (B[p](n+1)-B[p](0))/n
と書けるそうです。
このときB[k](x)はk次のベルヌーイ多項式です。

「べき和 ベルヌーイ数」などで検索してみてください。

この回答へのお礼

公式の一般形をありがとうございます。
やはりベルヌーイ多項式なのですね。

お礼日時：2007/07/14 01:29

No.2 回答者： string 回答日時： 2007/07/13 12:39

ヤコブ・ベルヌーイにより全て求められています。

1713年に出版された本で公表されてます。
日本では関孝和がベルヌーイよりも早い時期に求めてます。

規則性はありますが、少し見えづらいと思います。

この回答へのお礼

公表の歴史をありがとうございます。
まさか日本で関孝和とは初耳です。

お礼日時：2007/07/14 01:27