利用規約の変更について

f(z)=1/{z・sin(z)}
の特異点と、留数を求めよ。

という問題なんですが、特異点はz=0,2πn (n=1,2,3…)ですよね?
ここから、留数のもとめかたがわかりません。
詳しい方お願いします。

留数の定理は一応しっております。

A 回答 (1件)

> 特異点はz=0,2πn (n=1,2,3…)ですよね?



あれ,分母がゼロになる点ですから,z=0, ±nπ (n=1,2,3…)が特異点ですよ.

z=0 と z=±nπ (n=1,2,3,...)ではちょっと様子が異なります.
z=0 では分母の因子の z も sin(z) もゼロになりますから,ここは2位の極です.
z=±nπ では sin z だけゼロになりますから,これらは1位の極です.

さて,z=0 の周りでは,ローラン展開が
(2)  f(z) = A/z^2 + B/z + C + Dz + Ez^2 + ...
の形になるわけですから,
(3)  z^2 f(z) = A + Bz + Cz^2 + Dz^3 + ...
です.
したがって,係数 B (すなわち,留数)は
(4)  B = lim{z→0} (d/dz){z^2 f(z)}
で求められます.

同様に,z=nπ ならローラン展開は
(5)  f(z) = B/(z-nπ) + C + D(z-nπ) + E(z-nπ)^2 + ...
ですから,
(6)  B = lim{z→nπ)} {(z-nπ) f(z-nπ)}
です.

計算は容易ですからお任せします.

公式にするなら,
f(z) が z=a において k 位の極を持つときには,そこでの留数は
(7)  {1/(k-1)!} lim{z→a} [d^(k-1)/dz^(k-1){(z-a)^k f(z)}
ということになります.
(4)は k=2,(6)は k=1 の場合ですね.

この回答への補足

ええと、説明の意味はわかるのですが、ローラン展開がわかりません。
これもついでに説明していただけないでしょうか?

補足日時:2002/07/28 13:40
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q1/sinz

∫1/sinz dz (c: |z|=1)を留数定理を用いて解く問題なのですが。
極はz=0で答えは2πiとなっております。

まずやりかたもよくわからないのですが、極にz=nπが入らない理由もわかりません。
ぜひ教えていただきたいです。

Aベストアンサー

>まずやりかたもよくわからないのですが、

ttp://coral.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch5.pdf
をご覧になって勉強してください。

>極にz=nπが入らない理由もわかりません。

積分経路Cは|z|=1より原点を中心とする半径1の円周なので
1/sin(z)の極z=nπの内、この中に入る積分路Cの中に含まれる極(特異点)はz=0だけだからです。複素積分の

z=0における留数は
Res(0)=lim[z→0]z/sin(z)=1
なので、留数定理より
∮_c 1/sin(z) dz=2πi*Res(0)=2πi
と求まります。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/留数

Q【応用解析】特異点 留数 位数について

特異点、留数、位数の求め方(考え方)を教えてください。
例えば
f(z)=1/(z*sinz)
についてその3つの解説お願い特異点、留数、位数の求め方を教えてください。
自分で考えたのは
特異点はz=0,sinz=0→z=nπ(nは整数)(これもあやふや)
位数はz=0は一次なので1位、sinz=nπはよく分からない
留数は1位とk位(k≧2)の場合の公式があるのでそこに入れるらしい(あやふや)
こんな感じです。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、その展開がマイナス何乗の項まで存在するか、ということです。位数が無限大になる「真性特異点」というものもあります。
したがって、この関数はz=0においては1位の極ではありません。もういちどよく考えてください。

留数とは、特異点のローラン展開におけるマイナス1乗の係数のことです。求めたい留数においてそれが何位の極なのかがわかれば、その計算方法も考えればわかるはずです。
留数がわかれば複素積分に応用できるので、留数は複素関数において重要な考えの一つです。

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、...続きを読む

Qフーリエ変換の問題について

f(x)=e^(-ax^2)  (-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= ...続きを読む

Q複素解析で、極の位数の求め方

無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
によると、留数を求めるのに極の位数が必要だと書いています。

極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、位数の求め方がわかりません。位数はどのようにして求めることができるのでしょうか?

Aベストアンサー

>極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、
>位数の求め方がわかりません。
極がaのとき、分母をq(z)とおくと、q(z)を因数分解したとき
(z-a)^m
を因数として持つとき(q(z)=0がm重解を持つとき)
mを位数といいます。
位数mを求めるにはz=aが何重解かを求めればそれがmになります。

Q複素関数の積分

周回積分∫dz/(zsinz) (|z|=1)の積分はz=0で2位の極を持ちます。よって後は留数定理にしたがって計算するだけなのですが、答えが合いません。答えは0ですが、どうしても留数が1になって積分値が2πiになってしまいます。
お手数ですが、どなたか計算過程を教えてもらえないでしょうか。

Aベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足の質問です。

>これを微分して後はロピタルを使って地道に計算していったのですが、これは間違っているのですか?

計算すればゼロになります。計算が間違ったのでしょう!

>0になるというのは上の*式の順番を入れ替えて
d/dz[lim{z/sinz}] [z→0]
limと微分の順番は入れ替える計算は間違いです!

>上の極限は三角関数の極限値で1になるので、その微分は0となり、したがって留数も0になるという事でしょうか。
そうですがスッキリしないので、(*)の式をちゃんと地道に計算しましょう!

Resf(0)=lim[d/dz{(z-0)^2(1/zsinz)}] [z→0]
=lim{d/dz(z/sinz)} [z→0] 
=lim {(sinz-zcosz)/sin^2(z)} [z→0] 
0/0型なのでロピタル適用
=lim {(cosz-cosz+zsinz)/(2sinz*cosz)} [z→0]
=lim {z/(2cosz)} [z→0]
=0/2=0
と留数はゼロとなります。

ANo.2に書いたローラン展開の結果の1/zの係数がゼロなので、留数=0と一致します。

お分かりになりました?

No.2です。

ANo.2の補足の質問です。

>これを微分して後はロピタルを使って地道に計算していったのですが、これは間違っているのですか?

計算すればゼロになります。計算が間違ったのでしょう!

>0になるというのは上の*式の順番を入れ替えて
d/dz[lim{z/sinz}] [z→0]
limと微分の順番は入れ替える計算は間違いです!

>上の極限は三角関数の極限値で1になるので、その微分は0となり、したがって留数も0になるという事でしょうか。
そうですがスッキリしないので、(*)の式をちゃんと地道に計算しまし...続きを読む

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報