ｄｙ/ｄｘについて

ｄｙ/ｄｘはなぜ置換積分をする時（１）のように分数の計算みたいに計算できるんですか？高校の時も先生はそのことについてこれはこうなるという風にしか説明しませんでした。他の専門書とかにもとりあえずこうなるみたいな書き方をしてありました。そんなに難しい理論なんですか

（１）ｔ=2ｘ^2とすると　dt/dx=4x⇒dt=4xdx

No.2 回答者： tak2006 回答日時： 2002/08/06 12:36

dy/dx=f(x)とおきます。

これを積分の形で表すと、
　　y=∫{f(x)}dx 　　　　　 -(a)
次に、f(x)=g(t)となる変数tを定義する。
dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)となるので、
　　dy/dt=f(x)(dx/dt)=g(t)(dx/dt) -(b)
これを積分の形で表すと、
　　y=∫{f(x)(dx/dt)}dt 　　　　　 -(c)
(a)=(b)となるので、
　　∫{f(x)}dx=∫{g(t)(dx/dt)}dt -(d)
(d)式はxをtの関数で表現してdx/dtを計算し、積分の最後につけるdxをdtに置換した形となっています。理論で説明すると以上となります。
概念で説明すると、f(x)の積分はf(x)にxの微小変化分dxを掛けたものを足していくわけですが、これを微小変化分dtで行うには、お互い微小なdx、dtにも大小関係があって、それを比(つまりdx/dt)で表すことによりdxはdtの何倍なのかを知る必要があるというわけです。

ちなみに、dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)も分数の計算のようになっています。何故こうなるかは、参考書に載っていると思いますので見てみて下さい。

No.1 回答者： hinebot 回答日時： 2002/08/06 12:34

私も詳しくは分からないですけど、考え方としては逆で、分数の計算みたいにできるように記号を定義した、と聞いたことがあります。