変曲点の数と解の数との関係について

方程式の解の数は最大で変曲点より１だけ多いというのは正しいでしょうか。またこれが正しいとしてこれを定理と呼ぶことは可能でしょうか。ただし円のような場合は１だけ多いのではなく二つの数は一致すると思いますがこれは円が閉じた曲線だからだろうと思っています。円まで含んだ統一的な定理のようなものがあるとするとどのように表現するのかも御教示いただければと思います。

No.4 ベストアンサー 回答者： yhposolihp 回答日時： 2007/09/15 11:04

微分だけでは、

（実数解の個数）と（変曲点の個数）の関係は良く分かりません。

５次関数を図形的に見ると、
（実数解の個数）＝５のときは、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／＼　　　　　　　　　　　　　／
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／　　　　＼　　　　　　　　　／　　
　　　　　　　／＼　　　　　　　　　／　　　　　　　　＼　　　　　／
―――――――――――――――――――――――――
　　　　／　　　　　＼　　　　／　　　　　　　　　　　　　＼／
　　／　　　　　　　　　＼／
／
となって、
（実数解の個数）＝（極値の個数）＋１＝（変曲点の個数）＋２

次に、
ｘ軸を上下してもグラフの概形は変化しないので、
（極値の個数）も、（変曲点の個数）も変化せず、
（実数解の個数）のみが、減少するので、
（実数解の個数）≦（極値の個数）＋１＝（変曲点の個数）＋２
となります。

さらに、
５次関数を退化させたたグラフは
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　／＼　　　　　　　　　　　／　　　　　　　　　　
―――――――――――　　ー　　――――――
　　　　／　　　　　＼　　　　／　　　　　　　　　　　　　
　　／　　　　　　　　　＼／
（実数解の個数）＝３
（極値の個数）＝２
（変曲点の個数）＝２

さらに退化させると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／　　　　
　　　　　　　／＼　　　　　　　　　／　　　　　　　
――――――――――――――――
　　　　／　　　　　＼　　　　／　　　　　　　　　　　　
　　／　　　　　　　　　＼／
／
（実数解の個数）＝３
（極値の個数）＝２
（変曲点の個数）＝１

同様にして退化させると・・・最後は直線状態となります。

一挙に、ｎ次関数で、
（実数解の個数）≦（極値の個数）＋１≦（変曲点の個数）＋２

としたいのですが、どこかに穴がある気もします。
話を、（変曲点の個数）からstartする方が良い気もします。

y=sinx, 0=sinx　においては、
（実数解の個数）＝（極値の個数）＝（変曲点の個数）
となりそうです。

一般の関数と方程式では、
（実数解の個数）、（極値の個数）、（変曲点の個数）
の関係は、？？です。

円の場合は、
変曲点は存在しないと思います。

変曲点を図形的に表現すると、
（＄）　点Ｐにおける接線とグラフの上下が、点Ｐの前後で逆転する。
　　　　（ｙ軸に平行な接線の場合は、上下ではなく左右となります。）
（＄）は全ての平面曲線に適用できると思います。

この回答へのお礼

丁寧な御教示ありがとうございました。勉強させていただきます。私は、円のグラフが二つの変曲点を持つと思っていました。

お礼日時：2007/09/15 14:58

No.3 回答者： neta 回答日時： 2007/09/14 14:49

ANo2ですが、n次の方程式：f(x)=0 の「実数解」の個数は、

最大で変曲点より2つ多いと思いますよ。f''(x)=0 はxのn-2次の
方程式になるからです。例えば、f(x)=x^4-3X^2+2=0 の実数解は
4つですが、f''(x)=6(2x^2-1)=0 より変曲点は2つあります。

この回答へのお礼

ご教示の内容を改めて勉強させていただきます。ありがとうございました。

お礼日時：2007/09/14 16:23

No.2 回答者： neta 回答日時： 2007/09/14 09:49

意味がよく分からないのですが、例えばxのn次の方程式を

f(x)=0 とすると解はn個ありますが、関数：y=f(x)のグラフの
変曲点は「最大でn-2個ある」という事は言えると思いますが。

この回答へのお礼

御教示ありがとうございました。実数解についてはどうなのかと考え直しました。

お礼日時：2007/09/14 10:39

No.1 回答者： abyss-sym 回答日時： 2007/09/14 04:06

＞方程式の解の数は最大で変曲点より１だけ多いというのは正しいでしょうか？

正しくないと思います。
反例を挙げます。
ｙ＝ｘ^4ー４ の場合
ｙ″＝12ｘ^2 ≧０、したがって常に下に凸となり、変曲点は０個。
解の個数は、ｘ＝±√２,±(√２)ｉ の４個なので、成り立ちません。

ｙ＝ｘ^3－３ｘ^2＋２ の場合
ｙ″＝６ｘ－６、この場合は、変曲点(１,０)の一つだけです。
しかし解の個数は、ｘ＝１,１±√３ の３つで、成り立ちません。

この回答へのお礼

ご叱正いただきありがとうございました。勉強いたします。

お礼日時：2007/09/14 10:33