ラザフォード散乱軌跡の包絡線

高校の物理でラザフォード散乱を習いました。
教科書の散乱の図を見ていたら、一つ一つのα粒子の軌跡が双曲線だということはすぐにわかりましたが、そのα粒子の軌跡全体の、双曲線の包絡線が放物線の形をしているように見えたため、ここ数週間、いろいろな本を利用しながら考察してきました。その結果、衝突係数をｔとし、座標平面において目標とする原子核が原点にあったとき、ｙ軸正方向からとんでくるα粒子の軌跡が (x-t)^2*(t^2-a^2)+2*(x-t)*y*t*a=a^2*t^2 (aはα粒子の初速度や原子核の原子番号などで決まる定数）で表すことが出来ました。この式を利用してグラフ表示ソフトでシミュレーションしたところ、確かに、包絡線は x^2=-8*a*(y-a) に一致し、放物線であることが確かめられました。
しかし、式による計算で包絡線がこの放物線に一致することが示せません。先のα粒子の軌跡の式が双曲線だけに「双」曲線となってしまい、余計な軌跡が現れているのも一つの原因のように思われます。だいいち包絡線の式というのは、どのように導けばいいものなのでしょうか。教えてください。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Nandayer 回答日時： 2002/08/26 22:57

　高校生にして、御自分でここまで調べられたとは驚きです。

　回答がつかないようなので、微力ながらお手伝いしましょう。私が大学時代に勉強した本をひっくり返して調べたところ、次のような記述がありました。少し難しいかもしれませんが、誤解のないようにするため、詳述します。

　 t を媒介変数とする方程式
　　f(x,y,t) = 0　　(1)
は、t の値によって連続的に変化する曲線の族を定める。
　１つの曲線が (1) で表される各曲線に接して、しかもその接点の軌跡であるとき、これを曲線族の包絡線という。
　 f(x,y,t) を t だけの関数だと思って微分（偏微分といいます）した関数を ft(x,y,t)（本当はこんな記法は使いませんが、テキスト・ファイルに書くため仕方なくこうします）とする。
　　ft(x,y,t) = 0　　(2)
　(1) と (2) を連立させて t を消去すると１つの関係式が得られるが、それがその曲線族の包絡線の方程式である。

　KanjistX さんの求められた式では、
　 f(x,y,t) = (t^2-a^2)*(x-t)^2 + 2*a*y*t*(x-t) - a^2*t^2
より、
　 ft(x,y,t) = 2*t*(x-t)^2 - 2*(t^2-ay-a^2)*(x-t) - 2*a*t*(y+a)
ですから、それぞれを 0 と置いた式を連立させて t を消去し、
　 x^2 + 8*a*(y-a) = 0　　(3)
が得られれば完璧です。
　しかし f が t について４次式，ft が t について３次式なので解くのが難しく、私の手には負えませんでした。

　一方で、失礼ながら (3) が包絡線の方程式がどうか、少し疑問があります。グラフ表示ソフトですと近似解を表示することもありますから。まずは包絡線の定義を確かめてください。

　なお、ネタ本は、
　　　高木貞治著「解析概論」岩波書店
で、88 節（軽装版なら 318 ページ）に包絡線の記述があります。
　大変有名な本なので、高校や近くの図書館にもあるかも（無理か？）しれず、もしあれば御自分で読んでみられることをお薦めします。しかし何しろ大学２年生程度の内容ですから、理解できなくても無理はありません。必要なところだけ利用するようにしてください。

　不完全な回答で申し訳ありません。いささかでもお役に立てれば幸いと願いつつ、かえって混乱させることになりはしないかと心配でもあります。

この回答へのお礼

返事が遅れてすみませんでした。いろいろと忙しかったのでご容赦ください。

おかげさまで、x^2 + 8*a*(y-a) = 0が包絡線になることが確かめられました。
しかし最近は便利なフリーソフトがあるものです。
Nandayerさんはこの式を疑問に思っていらしたようですが、実はこの式はグラフ表示ソフト「function view」と曲線近似ソフト「近似曲線式」で推定したもので、たしかに正確とはいえませんがかなり高い近似レベルで求めたつもりです。

さて、本題に入りますが、Nandayerさんの示された通り、「f=0」と「ft=0」を連立させてみました。高次式なのでここで、数式処理ソフト「MuPAD Light」を用いました。そうしたところ、tが実数であることなどからt=2*xのみが解として求まり、結果、上で申し上げた通り、包絡線の式として正しいことがわかりました。

偏微分等、大学分野につきましては、受験生なのにこんなことばかり考えているしょうもない高校生ですから、いろいろと手は出しています。そういう点でNandayerさんの回答は非常に役に立ちました。ご心配などかえって申し訳ありません。「解析概論」もぜひ探してみたいと思います。とても親切なご回答、本当にありがとうございました。

お礼日時：2002/09/04 22:53