アルキメデスはあふれた水を測っていないのでは？

アルキメデスが偽の王冠を見抜くためにあふれた水を
測ったと言う有名な話がありますが，どう考えても王冠は元もとの
体積が小さいですし更に水面張力のせいであふれた水を
測るのは誤差が大きすぎると思うのです。
仮に同じ王冠で何度もあふれた水を測定したらかなりの
ばらつきが出るのではないでしょうか。

そこで、この原理を上手く応用してもっと正確に偽の王冠を
見抜く装置を作るとしたらどうしたらよいでしょうか。

No.4 回答者： DEROM45 回答日時： 2007/12/15 12:13

「あふれた水の量でニセの王冠を見破った」という逸話の出典は、1世紀の建築家ウィトルウィウスの『建築書』です。

ガリレオ・ガリレイは彼の処女論文「小天秤」の中で、アルキメデスがそんな杜撰なことをするわけがない、後の人の歪曲であろう、という主旨のことを書いています。
実際に、いくつかの具体的な計算例で明らかにされていますが、表面張力の影響を受けてこぼれた水での判定は難しいです。
http://subal-m45.cocolog-nifty.com/blog/2007/11/ …
ここの最初の回答例で言っても、51.8cm2の体積差を、直径20ｃｍの円柱にすると、高さで1.6ｍｍです。
実際にやらないで「原理的に」考えると出来そうな気になってしまうのですがね。
ガリレオは、アルキメデスならこう考えたであろうという「天秤」を論文の中で示しています。具体的な図は残っていないようですが、参考URLのところに再現CGがあります。
この疑問は、何回か繰り返されているようですが、ガリレオの論文に立ち返ることでほぼ解決すると思います。

参考URL：http://subal-m45.cocolog-nifty.com/blog/2007/12/ …

No.3 回答者： candle2007 回答日時： 2007/11/24 19:18

ANo.2です。

勘違いしてました。(-_-;)

最初から３行目、４行目、無視してください。
容積がわかれば混合かどうかわかります。
ただこの方法は、おっしゃる通り誤差が大きいです。

No.2 回答者： candle2007 回答日時： 2007/11/21 00:25

>あふれた水を測るのは誤差が大きすぎると思うのです。

その通りです。
第一、あふれた水の量でわかるのは容積だけです。
容積がわかっただけでは何にもなりません。

[概要]
”アルキメデスの原理”は、「物体にはたらく浮力＝物体が押しのけた液体（普通は水ですよね）の重さに等しい」ということです。
（「有名な話」は、この肝心な部分が抜けています）

[例題]
仮に王冠製作業者が、王様から2kgの金を借り受け、その内1kgは銀を使って、総量2kgの王冠を作ったとします。
（つまり1kgの金をチョロまかしたわけです）

１．2kgの金で作った王冠
　金の比重（密度）は約20
　よってその容積は　　2000g÷20g/ml=100ml
　ゆえに浮力は　100g
　従って水中で重量を測れば　　2,000-100=1,900g

２．1kgの銀を混ぜた王冠
　金の部分の容積　1,000g÷20g/ml=50ml
　銀の部分の容積　1,000÷10g/ml=100ml
　　（銀の比重（密度）は約10）
　よってその容積は　　50+100=150ml
　ゆえに浮力は　150g
　従って水中で重量を測れば　　2,000-150=1,850g (END)

[参考]
密度測定法（２．アルキメデス法）
http://www.bekkoame.ne.jp/~shin_/zai/density.htm

以下はこのサイトでの過去同様質問です。
アルキメデスの黄金の冠
http://okwave.jp/qa1597963.html
アルキメデスと王冠
（この質問者は質問文の中に自分で答えを書いています(^_^;)）
http://okwave.jp/qa33395.html

参考URL：http://www.bekkoame.ne.jp/~shin_/zai/density.htm

No.1 回答者： BookerL 回答日時： 2007/11/18 09:24

　この話は、王様が金の王冠を作らせたのに、職人が銀を混ぜ込んで同じ重さの王冠を作って金をちょろまかした、それをアルキメデスが見抜いた、ということではなかったかと思います。

　この王冠がどのくらいの大きさだったかはわかりませんが、仮に 1000[g] として考えてみます。金 1000[g] は 51.8cm2 になりますが、金を 100[g] ちょろまかしてかわりに銀を100[g] 混ぜて作ると、体積が 56.1cm2 になります。

　このくらいの違いだと普通に測定が可能だと思います。実際の王冠がどのくらいの重さだったか、職人が何を混ぜ込んだか、そのへんがわからないですが、、表面張力の違いとか、くりかえして測定するときの誤差とかが関係するほど微小な量ではないと思います。

　なお、この話は「不定型な物体の体積を量る方法」であり、「アルキメデスの原理」は使っていません。