熱交換計算について

熱交換の計算についてですが、以下の場合どのように計算したらよいでしょうか？
200Lの容器の中に銅管（内径13mm、外径15ｍｍ）
を入れ、容器内（液温55℃）の水を冷やそうと思います。
銅管を通る冷却水は25℃で30L/minの流量だとします。
この条件下で、銅管の長さを20ｍの場合どれだけの熱交換が可能かが知りたいのです！

No.6 ベストアンサー 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/12/03 00:30

冷却配管の長さが20mのとき、どの程度の冷却能力があるか、エクセルで計算

してみました。
ただし、総括伝熱係数は、20(Kcal/m2/hr/℃)としました。
総括伝熱係数を求めるには、レイノルズ数(Ruρ/μ)が分かれば良いのですが、
粘性係数(μ)が不明のため、大雑把ですが、20 としました。
配管の長さを変えて冷却能力を試して見てください。

時間　　　容器内水の温度
0Hr.55
2Hr.45.65850294
4Hr.39.22579146
6Hr.34.79611849
8Hr.31.74577142
10Hr.29.64525129
12Hr.28.19879792
14Hr.27.20274587
16Hr.26.51684774
18Hr.26.04452678
20Hr.25.71927865
22Hr.25.49530734
24Hr.25.34107694
26Hr.25.2348713
28Hr.25.16173631
30Hr.25.11137434
32Hr.25.07669424
34Hr.25.05281294
36Hr.25.03636787
38Hr.25.02504353
40Hr.25.01724539
42Hr.25.01187547
44Hr.25.00817765
46Hr.25.00563126
48Hr.25.00387778

No.5 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/11/29 17:12

＃４で「一次遅れ」と書いたのは間違いです。

この行は忘れてください。
それと、「T(0)：容器内の水の初期温度」としたのは、
「T(0)：容器内の水の初期温度－冷却水の入り口温度」
の誤りです。

失礼しました。

No.4 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/11/29 14:35

ここで問題としているのは、熱の遣り取りであり、温度変化であるので「温度」として

いるところを、冷却配管入り口の水の温度を基準とした「温度変化」と読み替えて下さい。

そして、＃３の最後の部分を続けます。

式（3）より、
β/α=T(t)/Θ_t(t)
これを式（4）に代入すると、
Θ_x(x)={T(t)/Θ_t(t)}{1-e^(-αx)}
これから、
Θ_x(x)・Θ_t(t)=T(t)・{1-e^(-αx)}
左辺は、Θ(x,t) であるから、
Θ(x,t)=T(t)・{1-e^(-αx)}

これは、伝熱の「一次遅れ」です。


求めるべきは、容器内の水の温度（温度変化でなく）ですので、次のように考えて、
これを導きます。

冷却配管の全長に渡り、伝えられた熱が容器内の水の全熱量損失に相当しますので、
h・(2πR)・{T(t)・L-Θ_t(t)・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx}
=-c・ρ・V・{dT(t)/dt}

この Θ_x(x) に （4）式として求めた
Θ_x(x)=(β/α){1-e^(-αx)}
={T(t)/Θ_t(t)}{1-e^(-αx)}
を代入します。

すると、
h・(2πR)・{T(t)・L-Θ_t(t)・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx}
=h・(2πR)・〔T(t)・L-Θ_t(t)・{T(t)/Θ_t(t)}・∫[x=0→L]{1-e^(-αx)}dx〕
=h・(2πR)・〔T(t)・L-T(t)・∫[x=0→L]{1-e^(-αx)}dx〕
=h・(2πR)・T(t)・〔L-∫[x=0→L]{1-e^(-αx)}dx〕
=h・(2πR)・T(t)・〔L-{x+(1/α)・e^(-αx)}|[x=0→L]〕
=h・(2πR)・T(t)・〔L-[L+(1/α)・{e^(-αL)-1}]〕
=h・(2πR)・T(t)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]
であるから、

h・(2πR)・T(t)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]=-c・ρ・V・{dT(t)/dt}
dT(t)/T(t)=-〔h・(2πR)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]/(c・ρ・V)〕・dt

∴　ln{T(t)/T(0)}=-〔h・(2πR)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]/(c・ρ・V)〕・t

T(t)=T(0)・e^【-〔h・(2πR)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]/(c・ρ・V)〕・t】

冷却配管入り口の水の温度、Θ(0,t) （これを Θ_0 としています）を
基準としているので、

T(t)+Θ_0=Θ_0+T(0)・e^【-〔h・(2πR)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]/(c・ρ・V)〕・t】

これが、時刻 t における容器内の水の温度（温度変化でなく）になります。

これに、具体的数値を代入します。
Θ_0=冷却水の入り口温度
T(0)=容器内の水の初期温度
h=1/{(1/h_in：管内部の境膜熱伝達係数)+(1/λ：銅の熱伝導度)
　　　+(1/h_out:管外の境膜熱伝達係数)}
R：管内径
α=h・(2R)/(c・ρ・u・r^2)
　　c：水の熱容量
　　ρ：水の密度
　　u：冷却水の管内流速
　　r：管内径
L：管の長さ
V：容器の容積

No.3 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/11/25 09:44

＃２です。

式の変形途中で、
h・(2πR)・{T(t)・L-Θ_t(t)・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx}
とすべき所を
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
としておりました。

この部分を訂正させて頂きます。

しかし、

《それは、
《h・(2πR・Δx)・{T(t)-Θ_x(x)・Θ_t(t)}
《=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{dΘ_x(x)/dx}Δx
《で、簡単化すると、{h・(2R)/(c・ρ・u・r^2)}=α として、
《α・[-{T(t)/Θ_t(t)}+Θ_x(x)]+{dΘ_x(x)/dx}=0
《・・・・

以降は、式変形前の元の式を使いましたので、そのまま
活かせると思います。

この回答へのお礼

凄く詳しく教えていただきありがとうございます。
が、理解ができません。
お手数とは思いますが、
今回質問させていただいた値でお願いできないでしょうか？
タンク内の水は撹拌されています。

お礼日時：2007/11/25 12:34

No.2 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/11/23 23:30

冷却水配管の入り口から、x-Δx から x の微小長さの部分における

時刻 t における熱流束、冷却水の温度変化を考えます。

冷却水温度を Θ(x,t)、容器内の水の温度を T(t) とし、冷却水の温度が、
冷却水の流れる方向に測った配管の長さ x と、時刻 t によって表わされる
とします。
一方、容器内の水の温度は、攪拌されているものとし、配管の長手方向の
距離 x にはよらず、時刻 t のみで表わされるとします。

配管の外径を R、内径を r とすれば、t における熱流速は
h・(2πR・Δx)・{T(t)-Θ(x,t)}
です。
Θ(x,t) が、Θ(x,t)=Θ_x(x)・Θ_t(t) と表わせるとすると
h・(2πR・Δx)・{T(t)-Θ_x(x)・Θ_t(t)}
となります。
ここで、h は、配管の内外にできる境膜の熱伝達係数、h_in、及び
h_out、そして、配管の熱伝導度 λ から定まる総括熱伝達係数で、
1/h=(1/h_out)+(1/λ)+(1/h_in) として求められる係数です。

冷却配管の全長（これを L とします）に亘り x で積分すると、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
となり、単位時間に冷却配管全長に亘り、入熱される熱量を表わす量と
なります。これは、容器内の水が単位時間に配管に渡した全熱量、
-c・ρ・V・{dT(t)/dt}
に等しいことが分かります。

次に、水の熱容量を c、密度をρ、冷却水の配管内の流速を u とし、
考えている配管の微小部分への単位時間当たりの熱の流入、流出量を
求めると、
流入量、c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x-Δx,t)
流出量、c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x,t)
で、熱の移動量は、これの差を取り、
c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x,t)-c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x-Δx,t)
=c・ρ・(πr^2・u)・{Θ(x,t)-Θ(x-Δx,t)}
=c・ρ・(πr^2・u)・{∂Θ(x,t)/∂x}Δx
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{dΘ_x(x)/dx}Δx
この熱量を、冷却配管全長に亘り積分したものは、配管の長手方向に
熱が伝わった全量を示すものとなり、これも、容器内の水が単位時間に
配管に渡した全熱量、
-c・ρ・V・{dT(t)/dt}
に等しいことが分かります。

従って、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・∫[x=0→L]{dΘ_x(x)/dx}dx
右辺は、
c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{Θ_x(L)-Θ_x(0)}
と簡単化でき、結局、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{Θ_x(L)-Θ_x(0)}（1）

ここでは、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
=-c・ρ・V・{dT(t)/dt}
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{∂Θ_x(x)/∂x}Δx
として、容器の水の熱量の減少を仲立ちして、（1）式を得ましたが、
この関係は、このような方法によらずとも得られる関係なので、
積分せず、以下のような微分方程式を得て、冷却水温度の、
長手方向分布を得ることができます。

それは、
h・(2πR・Δx)・{T(t)-Θ_x(x)・Θ_t(t)}
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{dΘ_x(x)/dx}Δx
で、簡単化すると、{h・(2R)/(c・ρ・u・r^2)}=α として、
α・[-{T(t)/Θ_t(t)}+Θ_x(x)]+{dΘ_x(x)/dx}=0

{dΘ_x(x)/dx}+α・Θ_x(x)=α・{T(t)/Θ_t(t)}
左辺は x のみの函数、右辺は t のみの函数であるから、
βを定数として、
{dΘ_x(x)/dx}+α・Θ_x(x)=β（2）
α・{T(t)/Θ_t(t)}=β（3）
でなければなりません。

(2)より、Θ_x(x)=Θ_x(0)・e^(-αx)+(β/α){1-e^(-αx)}
Θ_x(0) は、熱の遣り取りがない時の配管入り口温度と、容器内の
水の温度の差と見なして良いでしょう。つまり、0 です。

従って、Θ_x(x)=(β/α){1-e^(-αx)}（4）

一方、（3）式からは、Θ_t(t)=(α/β)・T(t) が得られます。
Θ_t(t) は、関係、（4）を拡大するファクターと考えられるでしょう。
時刻 t_1 における分布が、時刻 t_2 においては（t_1<t_2）、
Θ_t(t_2)/Θ_t(t_1) 倍に拡がることを意味しています。
これは一見、奇妙に思えるかもしれません。
というのは、容器の水は熱を放出するのであるから、温度が下がり、
配管内の温度は上昇するので、その比であるβは下がるように
思えるからです。しかし、今のようなモデルを考えている限り、
Θ_t(t) が大きい時は、T(t) も大きく、Θ_t(t) が小さい時は、
T(t) も小さくなり、その割合が一定であるということに帰結
するのです。
提示された数値を用いた計算をしませんでしたが、モデルの確認後、
数値を入れて計算なさって下さい。

No.1 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/21 16:11

容器内の液体の動きや配管のしかたで変わってくるので

一概にはもとまりません。
外部の熱伝達率や 管の周囲温度が変わってきます。