軌道の直交条件

水素の1s軌道と2s軌道が直交する事を証明したいのですが、Ψ_100とΨ_200の積を積分して、値が0になればいいんですか？？
なぜそうなるのでしょうか？？

No.2 回答者： 101325 回答日時： 2007/12/05 06:00

A-Tanaka wrote:

|　三次元的に見れば、Ψ_100=Σ(Xs1,Ys2,Zs2)という軌道分布と
|　Ψ_200=Σ(Xs2,Ys2,Zs2)という軌道分布で表現されます。

何なんだよ、Σ(Xs2,Ys2,Zs2)って？
見たことないよ、そんなもの。
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それはさておき。

> Ψ_100とΨ_200の積を積分して、値が0になればいいんですか？？

いいです。

量子力学では、∫(f*)g dτを波動関数 f と波動関数 g の内積と呼びます。ここで f* は f の複素共役を表します。s軌道は実関数なので、ここでは単に∫Ψ_100 Ψ_200 dτを1s軌道と2s軌道の内積だとしていいです(Ψ_210とΨ_211の場合は、複素共役を忘れるとハマります）。
dτは、関数の定義域によって変わります。一次元の箱の中の粒子や調和振動子では、dτ＝dx と置き換えます。水素原子の場合には、
　dτ＝r^2 sinθdr dθdφ
に置き換えます（この式、ちょっと自信がないので、教科書などでご確認願います）。

> なぜそうなるのでしょうか？？

それが、波動関数の直交条件だからです。

高校数学で習ったベクトルの直交条件が「内積がゼロ」であったように[注]、波動関数の直交条件も「内積がゼロ」と表現できます。同じことですけど、『波動関数の内積がゼロのとき、その二つの波動関数は直交している』というのが関数の直交の定義だ、と考えてもいいです。

[注]大きさゼロのベクトルとか細かい話は省略します。

No.1 回答者： A-Tanaka 回答日時： 2007/12/04 22:35

こんばんは。

量子物理学の知識が必要になります。
しかしながら、ここでその説明をやると、延々書かなくては成らないし、字数制限もあるので、その辺りは端折っておきます。

Ψ_100とΨ_200のそれぞれの値は、各電子軌道の分布の確率を表します。三次元的に見れば、Ψ_100=Σ(Xs1,Ys2,Zs2)という軌道分布とΨ_200=Σ(Xs2,Ys2,Zs2)という軌道分布で表現されます。

さて、高等学校で習った内積を思い出してみてください。X・Y＝Xx・Yx+Xy・Yy+Xz・Yzという式になります。この時ベクトルXとベクトルYが直交するためには、X・Y=0となる条件が満たされることでしたよね？

よって、Ψ_100とΨ_200の積を積分して、値が0と成るとき、1s軌道と2s軌道が直交したということになるのです。