
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
xを実数としx<0ならばh(x)=0とし0<xならばh(x)=1とし
∫の範囲は表記していない場合-∞~∞とし
x1の密度関数をp1(x1)としx2の密度関数をp2(x2)とし
yの分布関数をF(y)としyの密度関数をP(y)とし
yの平均をE(y)とすると
F(y)=∫∫(x1・x2<y)dx1・dx2・p1(x1)・p2(x2)
=∫∫dx1・dx2・p1(x1)・p2(x2)・h(y-x1・x2)
上式の両辺をそれぞれ微分して
P(y)=∫∫dx1・dx2・p1(x1)・p2(x2)・δ(y-x1・x2)
従って
E(y)=∫dy・y・P(y)=
∫∫∫dx1・dx2・dy・p1(x1)・p2(x2)・y・δ(y-x1・x2)=
∫∫dx1・dx2・p1(x1)・p2(x2)・x1・x2=
∫dx1・x1・p1(x1)・∫dx2・x2・p2(x2)=
μ1・μ2
従って
V(y)=∫dy・(y-E(y))^2・P(y)=
∫∫∫dx1・dx2・dy・p1(x1)・p2(x2)・(y-E(y))^2・δ(y-x1・x2)=
∫∫dx1・dx2・p1(x1)・p2(x2)・(x1・x2-μ1・μ2)^2=
∫∫dx1・dx2・p1(x1)・p2(x2)・x1^2・x2^2-μ1^2・μ2^2=
∫dx1・p1(x1)・x1^2・∫dx2・p2(x2)・x2^2-μ1^2・μ2^2=(σ1^2+μ1^2)・(σ2^2+μ2^2)-μ1^2・μ2^2=
σ1^2・σ^2+σ1^2・μ2^2+σ2^2・μ1^2
なお
(d/dx)・h(x)=δ(x)
と
p(x)=exp(-(x-μ)^2/2/σ^2)/√(2・π)/σとしたとき
∫dx・x^2・p(x)=
∫dx・x^2・exp(-(x-μ)^2/2/σ^2)/√(2・π)/σ=
∫dy・(y+μ)^2・exp(-y^2/2/σ^2)/√(2・π)/σ=
∫dy・y^2・exp(-y^2/2/σ^2)/√(2・π)/σ+μ^2=
σ^2+μ^2
であることを使った
長い式を打つのは大変だったと思います。
ありがとうございますm(_ _)m
おかげでだいぶ理解できました。
また自分で計算しなおしてみます。
No.1
- 回答日時:
x1の密度関数をP1(x1)としx2の分布関数をP2(x2)とし
yの分布関数をF(y)としyの密度関数をP(y)とし
yの平均をE(y)とすると
F(y)=∫∫dx1・dx2・p1(x1)・p2(x2)・h(y-x1・x2)
従って
P(y)=∫∫dx1・dx2・p1(x1)・p2(x2)・δ(y-x1・x2)
従って
E(y)=
∫∫∫dx1・dx2・dy・p1(x1)・p2(x2)・y・δ(y-x1・x2)=
∫∫∫dx1・dx2・dy・p1(x1)・p2(x2)・x1・x2=
μ1・μ2
従って
V(y)=
∫∫∫dx1・dx2・dy・p1(x1)・p2(x2)・(y-E(y))^2・δ(y-x1・x2)=
∫∫dx1・dx2・p1(x1)・p2(x2)・(x1・x2-μ1・μ2)^2=
∫∫dx1・dx2・p1(x1)・p2(x2)・x1^2・x2^2-μ1^2・μ2^2=
∫dx1・p1(x1)・x1^2・∫dx2・p2(x2)・x2^2-μ1^2・μ2^2=(σ1^2+μ1^2)・(σ2^2+μ2^2)-μ1^2・μ2^2=
σ1^2・σ^2+σ1^2・μ2^2+σ2^2・μ1^2
この回答への補足
回答ありがとうございます。
しかし
h(y-x1・x2)
δ(y-x1・x2)
の部分が分かりません。もしよろしければ
お教えくださいm(_ _)m
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