２点の座標と任意の角度から２等辺三角形の頂点を求める方法

２点 A・Bの３次元座標 (Ax, Ay, Az) (Bx, By, Bz) があり、AB を２等分した点 D と (0,0,0) を通る直線を引きます。AC = BC となり ∠C が任意の角度となるような直線上の点 C の２つの座標を求める方法を知りたいのですが（A と B をそれぞれ始点と終点とする任意の角度の円弧の中心座標 ）、なにかヒントをいただけるでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2008/01/14 09:42

ABに二等辺三角形をおいて回転させることを想像するとCが円を描くことが

分かると思います。更にいろいろ角度を変えてみると円を含む平面が
できることがわかると思います。これはABの中点を含み、ABに垂直な
平面になります。
その平面は

(Ax-Bx){x-(Ax+Bx)/2}+(Ay-By){y-(Ay+By)/2}+(Az-Bz){z-(Az+Bz)/2}=0

となります。これが原点を含めばOD上にCがあります。その条件は
この式に(x,y,z)=(0，0，0)を代入して変形すると

Ax^2+Ay^2+Az^2=Bx^2+By^2+Bz^2

つまり、最初の2点が原点からの距離が等しければCはOD上にありますが
そうでないならCはOD上にはありません。(ODと平面が交わるのがD一点
だけになりますから）
まず、これを理解してください。その上でどの様な点をCを求めているので
しょうか？最初に書いたように単にABから等距離で一定の角度の
点は求めることができますが、その集合は円となり、無数にあります。

この回答への補足

無数の点 C が打ててしまうので、限定する意味で [ (0,0,0) を通る直線上 ] という条件をつけましたが、確かにおかしい質問になってしまっておりました。すいません。

点 A ・B を含み線分 AB に垂直なベクトルが法線となるような平面上の点 C が求めたいのですが。

もう少し勉強、整理してから質問するよう気をつけます。解説ありがとうございました。

補足日時：2008/01/14 10:19

この回答へのお礼

「点 A ・B を含み線分 AB に垂直なベクトル」自体が無数にある事に気付きました。勉強し直して、挑戦したいと思います。

回答して頂いた皆様、ありがとうございました。

お礼日時：2008/01/14 11:38

No.3 回答者： Meowth 回答日時： 2008/01/14 08:08

意味不明

ＡC = BC となる直線上の点 は、Ｄ　角度は任意にはできない。

A と B をそれぞれ始点と終点とする任意の角度の円弧の中心座標
始点と終点　→両端ということか

C = BC となり ∠C が任意の角度となるような直線上の点 C
の直線は
点 D と (0,0,0) を通る直線
とは関係ないのか？
だとしたら
点 D と (0,0,0) を通る直線
はなんのための直線か
関係ないとして
２点の座標と任意の角度から２等辺三角形の頂点
だとすると、
点 C の２つの座標
→Ｃは２つではない。

この回答への補足

ありがとうございます。質問が不明ですいません。[ 点 D と (0,0,0) を通る直線上の ] というのは、３次元上だと無数に点 C が設定出来てしまうので、任意の平面上に限定したいと思い追加したものです。もう少し勉強が必要でした。

補足日時：2008/01/14 09:56

No.2 回答者： sak_sak 回答日時： 2008/01/14 03:40

α=∠ACBとすると、AD/DC=tan(α/2)なので

ベクトルOC,ベクトルODを、それぞれc,dと表すこととすれば
c={OD±AD/tan(α/2)}(d/OD)
で求められます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。質問自体があいまいだったようで、すいません。もう少し勉強してみます。

お礼日時：2008/01/14 09:56

No.1 回答者： hicks111 回答日時： 2008/01/14 03:17

Cから（A＋B）／２への距離はCOSα／２です。

αはACBの角度です。

C=（A＋B）/2
+/- cos(α/2)
* transpose(A-B)/|(A-B)|
となる
かな

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。質問自体が不明だったようで、もう少し勉強してみます。

お礼日時：2008/01/14 09:54