曲線上の点P(x,y)における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。次の問に答え...
曲線上の点P(x,y)における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。
次の問に答えよ。ただし、Oは原点を表し、|PQ|、|OQ|はそれぞれ線分PQ、OQの長さを表す。
(1) Lがつねに定点(a,b)を通る曲線の方程式を求めよ。
(2) |PQ|=|OQ|となる曲線の方程式を求めよ。
(1)は以下のように考えました。
P(x,y)における法線はy’(Y-y)+X-x=0で、点(a,b)を通るので
y’(b-y)+a-x=0
yy’-by’+ x-a=0
(y-b)dy=-(x-a)dx
両辺を積分して
整理すると、(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2
(2)は方程式の立て方が分かりません。
アドバイスお願い致します。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
(1)は,積分した後,積分定数(右辺)は任意でいいはずです。
強いて言うなら正の数でしょうか(Lが曲線上の点より)。(2)は,まず直線Lの式を求めます。
L:(x-a)(Y-b)=(y-b)(X-a)
これは2点(x,y)(a,b)を通る直線の条件です。
点Qは直線Lとx軸の交点です。求められますね?
この交点Qの座標を(0,q)と表します(これは便宜上です。実際の解答はこうおかなくても構いません)。
|OQ|=|q|
です。
次に三平方の定理から
|PQ|^2=(x-q)^2+y^2
となります。よって(場合分けは面倒なので)
q^2=(x-q)^2+y^2
これを整理すれば,OKです。
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