3次元球対称の場における波動関数ψを求める際に、θ方向の式についてわからないことがあったので、どなたかわかる方教えてください。
ラプラシアンを極座標表示にし、ψ=R(r)Θ(θ)Φ(φ)と変数分離して、
sinθ ∂/∂θ (sinθ ∂Θ/∂θ)+{l(l+1)(sinθ)^2 -m^2}Θ=0
を導出するところまではできたのですが、
x=cosθとおいて
連鎖律などから
∂Θ/∂θ=∂Θ/∂x (-sinθ),∂^2Θ/∂θ^2=∂^2Θ/∂x^2 (-sinθ)^2
を使って上の式を変形したのですが、
(1-x^2)∂^2Θ/∂x^2-x∂Θ/∂x+{l(l+1) -m^2/1-x^2}Θ=0
となり、ルジャンドルの陪微分方程式と第二項の係数だけが異なってしまいます。
第二項の係数が1でなく2になると思うのですが、どこが間違っているのでしょうか教えてください。
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