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水素原子1S軌道に関して運動量pの期待値〈p^2〉を求め、最終的には運動エネルギーの期待値を得たいのですが、

水素原子の1S軌道の波動関数をΨ、その複素共役をΨ*とします。
Ψ=(1/π)^(1/2)・(1/a)^(3/2)・exp(‐r/a)です。aはボーア半径です。
このとき
〈p^2〉=∫Ψ*p^2Ψdτ
    =∫(0~2π)dφ∫(0~π)sinθdθ∫r^2drΨ* p^2Ψ
ここでp^2=(-(h/2π)^2)d^2/dx^2なので上の式に代入して
    =∫(0~2π)dφ∫(0~π)sinθdθ∫r^2drΨ*(-(h/2π)^2)d^2/dx^2Ψ
さらに
Ψ=(1/π)^(1/2)・(1/a)^(3/2)・exp(‐r/a)であるので(aはボーア半径)、上の式に代入して整理すると
    =(2π)×(2)×(1/π) ・(1/a^3)・(-(h/2π)^2)∫r^2・exp(‐2r/a)・(d^2/dx^2)dr
xの2階微分の処理方法を含め、ここからどのように計算したらよいか分からずにいます。
最終的には水素原子1S軌道に関しての運動エネルギーの期待値を得たいのです。
しかもポテンシャルエネルギーの期待値との関係から〈K〉=-(1/2) 〈U〉= e^2/(8πεa)になるはずなのですが真空の誘電率εや電荷eが出てくる気配もなく困っています。
どうかご教示いただけないでしょうか。
そもそも計算方法が間違っているのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

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A 回答 (1件)

p^2 = (-(h/2π)^2) d^2/dx^2 となるのは、一次元のときです。

水素原子のように三次元のときには

 p^2 = (-(h/2π)^2) (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2)

になります。これを極座標で表すと

 p^2 = (-(h/2π)^2) ((1/r^2)∂/∂r(r^2∂/∂r) + (1/(r^2sinθ))∂/∂θ(sinθ∂/∂θ) + (1/(rsinθ)^2)∂^2/∂φ^2)

のようにかなり複雑な形になりますけど、水素原子の1s軌道の波動関数Ψがθとφに依存しない(∂Ψ/∂θ=∂Ψ/∂φ=0)ので、p^2をΨに作用させると

 p^2 Ψ = (-(h/2π)^2) ((2/r)∂Ψ/∂r + (∂^2Ψ/∂r^2))
 
のような簡単な形になります。

 ∂(exp(-r/a))/∂r = -exp(-r/a)/a
 ∂^2(exp(-r/a))/∂r^2 = exp(-r/a)/a^2

ですので

 Ψ* p^2 Ψ = 1/(πa^3) (-(h/2π)^2) exp(-2r/a) (-2/(ra)+1/a^2)

となって運動エネルギーの期待値〈K〉は

〈K〉= ∫∫∫dφdθdr{r^2 sinθ Ψ* p^2 Ψ/2m}
   = 4π∫dr{r^2 Ψ* p^2 Ψ/2m}
   = 4π/(πa^3) (-(h/2π)^2/2m)∫{exp(-2r/a)(-2r/a+(2r/a)^2/4)}dr
   = 2π/(πa^2) (-(h/2π)^2/2m) ∫{exp(-t)(-t+t^2/4)}dt
   = 2π/(πa^2) (-(h/2π)^2/2m) (-1+1/2)
   = (h/2π)^2/(2m a^2)

のように計算できます(途中で2r/a=tとおきました)。

真空の誘電率εや電荷eで〈K〉を表すにはボーア半径の定義

 a= 4πε(h/2π)^2/(me^2)

を使います。この式を変形すると

 (h/2π)^2/m = a e^2 /(4πε)

のように書けるので、これを上で求めた〈K〉に代入すると

〈K〉= e^2 /(8πεa)

となります。

式が多いので間違っているところがあるかもしれません。あやしげなところや納得のいかないところがありましたら、お知らせください。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

101325さま

calmdeiです。
アドバイスいただいた式を追ってみました。
大変丁寧に書き下していただいているので、分かりやすく助かりました。ほんとうにありがとうございました。
感謝の言葉もありません。
ありがとございました。

お礼日時:2008/03/17 00:22

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Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、H2O が H+ と OH- とに解離しやすくなり、H2O に戻る反応が劣勢になります。
それと同様に、真性半導体においても、温度が上がると電子とホールが発生しやすくなるのに比べて、両者が出合って対消滅する反応が劣勢になるため、両者の濃度の積は増えます。
キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体...続きを読む

Q原子核の位置での電子の存在確率密度

原子核の位置での電子の存在確率密度って波動関数Ψ(r,θ,φ)を二乗してr=0を代入したときと、動径分布関数D(r)にr=0を代入したときとで答えが違いますよね。
例えば水素原子1s軌道で
Ψ(r,θ,φ)=1/sqrt(pi)*(1/a)^(3/2)*exp(-r/a)
D(r)=4r^2*(1/a)^3*exp(-2*r/a)
前者で1/(pi*a^3)、後者で0になると思います。この差はなぜ生じるのですか?ちなみにaはボーア半径です。

Aベストアンサー

なにか大変な勘違いをされているようですね。
波動関数式と動径分布関数式は、同じ意味のものを別々の関数で表したのもではありません。全く表している事が違っています。したがって、同じ値になろうが、なかろうが、比べる意味そのものが根本的にありませんよ。

下記サイトをご参照下さい。
http://www.materials.sci.osaka-cu.ac.jp/materials2002/Lec_others/dorbital.html

動径分布関数とは、原子核を中心にして半径r の距離に電子を見出す確率,つまり,今回のような1s軌道では波動関数内にθとφを含んでいないので、半径r の球の表面での「確率密度」であり、この値が最大(極大)になる距離r は,D(r) をr で微分してゼロになる所
dD(r)/dr = ( const ) × r ( 1 - r / a ) exp ( -2r / a ) = 0
より、
r= a

つまり、aはボーア半径ですね。つまり、ボーア半径のあたりで,電子の動径分布が最大になりますよ。

式名称に惑わされてはいけません。「何のためにその式が出てきたのか」を考えて下さい。

S = 4πr^2 は球の表面積ですよね。何故それに波動関数の自乗を掛けあわせたものが原子核を中心にして半径r の距離に電子を見出す確率,つまり,半径r の球の表面での確率密度なるのかというと、先ほどの1s軌道の波動関数がは,実際にはθとφを変数として含んでいないからrに対して一様な球状だとしたわけです。

他の電子軌道を考察する場合には、そうはいきませんね。

本当に詳しく知りたいのであれば、以下のサイトをざっと読んでみて下さい。くわしく、丁寧に説明されています。(QMII-8.pdfは無いようです)
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-3.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-4.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-6.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-7.pdf

http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-9.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-10.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-11.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-12.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-13.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-14.pdf

頑張ってくださいね。

なにか大変な勘違いをされているようですね。
波動関数式と動径分布関数式は、同じ意味のものを別々の関数で表したのもではありません。全く表している事が違っています。したがって、同じ値になろうが、なかろうが、比べる意味そのものが根本的にありませんよ。

下記サイトをご参照下さい。
http://www.materials.sci.osaka-cu.ac.jp/materials2002/Lec_others/dorbital.html

動径分布関数とは、原子核を中心にして半径r の距離に電子を見出す確率,つまり,今回のような1s軌道では波動関数内にθとφを含んでい...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q一分子の基底状態と励起状態の縮退度の求め方

1辺aの立方体に質量mの内部構造のないNコの同種粒子からなる気体がある。
一粒子のエネルギー準位は次のように書ける。
E=h・h(nx・nx+ny・ny+nz・nz)/(8ma・a)
hはプランク定数。nx,ny,nzは自然数。

という問題で
「一分子の基底状態と励起状態の縮退度はそれぞれいくらか」
というのがテストで出たんですがわかりませんでした。
答えあわせをしてくれないので困ってます。
どなたかわかる方いませんか?教えてください(泣

Aベストアンサー

例によって答を教えてくれない先生ですか.
どうも困ったもんですね~.

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です.
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます.

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん,nx = ny = nz = 1 の
ただ1通りだけ.
したがって基底状態の縮退度は1.

最初の励起状態は,nx,ny,nz のうち1つが2,残り2つが1というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね.
nx,ny,nz のうちどれかが2だというのだから,3通りの可能性があります.
すなわち,縮退度は3.

2番目の励起状態は,nx,ny,nz のうち2つが2,残り1つが1というやつで,
これも3通りの可能性があるから,縮退度は3.

つまり,エネルギーを決めると,nx^2 + ny^2 + nz^2 が決まるので,
これに対応する nx,ny,nz の選び方の数が縮退度です.
一般の nx^2 + ny^2 + nz^2 を指定して選び方の数を求めるのはちょっと
複雑そうです.

幾何学的には,nx,ny,nz の3次元空間で,球の半径 nx^2 + ny^2 + nz^2 を
決めたとき,その球面が通る格子点の数はいくつか,と言う問題になっています.

通常は,a が十分大きいとして,エネルギーの連続極限をとってしまいますが,
そこらあたりまで要求されているんでしょうか?

それから,もし粒子が電子だとすると,nx,ny,nz を指定しても,
その他にスピンの自由度2があります.
スピンまで考慮すれば,縮退度は上の計算の2倍になります.

例によって答を教えてくれない先生ですか.
どうも困ったもんですね~.

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です.
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます.

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん,nx = ny = nz = 1 の
ただ1通りだけ.
したがって基底状態の縮退度は1.

最初の励起状態は,nx,ny,nz のうち1つが2,残り2つが1というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね.
nx,ny,nz のうちどれかが2だというのだから,3通りの可能性があります.
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Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q量子力学の問題(期待値を求める)

量子力学の問題について、自分で解いたのですが正しいか自信がありません。各問いで解答が正しいか、また考え方が正しいかご教授をお願いします。

問題
ポテンシャルV(x)=-gxの中を運動する質量mの粒子について。ある時刻t=t0において粒子の波動関数が次のように与えられたとする。
Ψ(x,to)=Cexp(-ax^2+ibx) (a,b,Cは正の実数)
このとき、
(1)t=toにおける位置の期待値
(2)t=toにおける運動量の期待値
(3)時刻tにおける位置の期待値
(4)波動関数Ψ(x,t)が従う、時間に依存するシュレディンガー方程式
を求めよ。

解答
(1)<Ψ(x,to)*| x |Ψ(x,to)>
=∫[-∞,∞]Cexp(-ax^2-ibx)・x・Cexp(-ax^2+ibx)dx
=C^2∫[-∞,∞] xexp(-2ax^2)dx
を計算して答えが0になりました。(この積分を直接計算できませんでしたが、被積分関数のグラフを考えると原点対象だったので、-∞から∞に積分して0になるだろうと考えました。)

(2)<Ψ(x,to)*| -ihd/dx |Ψ(x,to)>
=…
=hbC^2∫[-∞,∞] exp(-2ax^2)dx
=hbC^2×√π/√(2a)
(最後の積分でガウス積分の公式を使いました。)

(3)ハミルトニアンが時間に依存しないので、時刻tにおいて波動関数ψは
ψ(x,t)=Ψ(x,to)exp(-iEt/h)=Cexp(-ax^2+ibx)・exp(-iEt/h)
とおける。従って求める期待値は、
<ψ(x,t)*| x |ψ(x,t)>
=∫[-∞,∞]Cexp(-ax^2-ibx)・exp(iEt/h)・x・Cexp(-ax^2+ibx)・exp(-iEt/h)dx
=C^2∫[-∞,∞] xexp(-2ax^2)dx
=0 (結局(1)と同じ)

(4)(-h^2/2m(d^2/dx^2)-gx)ψ(x,t)=ihd/dtψ(x,t)

量子力学の問題について、自分で解いたのですが正しいか自信がありません。各問いで解答が正しいか、また考え方が正しいかご教授をお願いします。

問題
ポテンシャルV(x)=-gxの中を運動する質量mの粒子について。ある時刻t=t0において粒子の波動関数が次のように与えられたとする。
Ψ(x,to)=Cexp(-ax^2+ibx) (a,b,Cは正の実数)
このとき、
(1)t=toにおける位置の期待値
(2)t=toにおける運動量の期待値
(3)時刻tにおける位置の期待値
(4)波動関数Ψ(x,t)が従う、時間に依存するシュレディンガー方程式
を求めよ。...続きを読む

Aベストアンサー

解き方と答えは多分問題ないでしょう。

2箇所ほど修正。
1.何箇所かに見られる表記の間違い。
<Ψ(x,to)*| x |Ψ(x,to)>
ではなく
<Ψ(x,to)| x |Ψ(x,to)>
です。*(複素共役)をつけるのは積分表示をする場合でありブラ・ケット表示ではつきません。

2.波動関数の時間tを含む表現
ψ(x,t)=Ψ(x,to)exp(-iEt/h)=Cexp(-ax^2+ibx)・exp(-iEt/h)
右二つの表記についてはtではなくt-toとなります。toが"0"であれば上の表記となりますがそうとは限りません。最後の結果は変わりません。

Q水素原子の波動関数の規格化

水素原子の基底状態の波動関数はN*exp(-r/a)である。(a:ボーア半径)規格化定数Nを決定しろ、という問題があります。
自分はψ=N*exp(-r/a)として∫r^2ψ^2dr*∫sinθdθ*∫dφ=1となるNを求めました。しかし答えとは違い、答えは
R=N*exp(-r/a)として∫r^2R^2dr=1となるNを求めていました。(Rとはおそらく動径波動関数のことだと思います。)当然自分のやりかたで求めた答えとは違いました。
ここで疑問なのですが、なぜ自分のやり方ではだめなのでしょうか。規格化とは(うまい言い方が見つからないのですが)波動関数の2乗を全範囲で積分して1になるようにする作業。だから動径部分だけでなくθ、φも考えて1にしなければならないと思うのですが・・・。
どなたかお分かりになる方、教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>水素原子の基底状態の波動関数はN*exp(-r/a)である。
これが、動径波動関数だからです。

QSオービタルの平均半径

現在、量子力学を学んでいる者です。

量子数n、lのオービタルの平均半径を求める式が、
〈r〉=n^2*{1+1/2*(1-l*(l+1)/n^2)}*a/z
であることは学びました。

* 例えばオービタルが3sの場合、n=3、l=0だから、計算すると
〈r〉=27a/2z

このオービタルの平均半径ですが、波動関数からも求めることができるそうなのです。
3sの波動関数が
1/{9*(3)^(1/2)}*(Z/a)^(3/2)*(6-2ρ+1/9*ρ^2)*e^(ρ/6)
なので、これを使って解けば上の計算式と同じ答えになるのだとは思うのですが、解法がわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

期待値=∫ψ*Ωψdτ(ψ*は波動関数の複素共役、Ωはオブザーバルな演算子)であるので
平均半径、つまりrの期待値を求めるには(この場合Ω=r)
<r>=∫ψ*rψdτ
dτ=r^2dr sinθdθ dφ
を計算すれば求まります。(rは0~∞、θは0~π、φは0~2πの積分範囲)(ρ=2Zr/a)
<r>=∫∫∫ψ*rψr^2dr sinθdθ dφ
=∫∫∫r^3|ψ|^2dr sinθdθ dφ
=4π∫r^3|ψ|^2dr (ψはrのみの関数なのでθ、φに関してのみ積分計算しました)
後はψ=1/{9*(3)^(1/2)}*(Z/a)^(3/2)*(6-2ρ+1/9*ρ^2)*e^(-ρ/6)なのでこれを代入して計算すればよいはずです。
ただ、計算するとかなり複雑になると思います。(自分は計算してないので分かりませんが・・・)
一応∫(r^n)e^(-ar)dr=n!/a^(n+1)という公式(n!:nの階乗のこと)があるのでこれを使えば多少簡単になると思いますが。
後はどうかがんばってください。

Qexp(ikx)の積分

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか?
iは虚数でkは定数です。

Aベストアンサー

それはδ関数になります。普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→+∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)


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