モンティ・ホールのジレンマ

有名ですよねこの話。具体的には省略します。

僕はこの問題最初は変えても変えなくても５０％だと思いましたが、解説を見て、なるほど変えたほうが確率が上がるなと納得しました。

ところが丁寧が解説があっても、未だに解らない人が結構います。僕の周りでもそうでした。数学が得意な友人でも納得できないという人がいました。

僕自身全く数学は得意ではありません。数年前のセンター試験でIAが40点くらいでしたから。文系学部に入り数学とは全く縁がありませんでした。

もしかして数学が得意であるからこそ陥るワナみたいなものでもあるのでしょうか？

No.1 回答者： zk43 回答日時： 2008/03/22 23:57

3枚のドアの内、1枚のドアの後ろにのみ当たりがあり、残り2枚が外れ

で、解答者は最初にドアを1枚選んで、司会者が残りの2枚のうちはずれ
のドアを1枚開けて見せ、解答者はドアを変えたほうが当たる確率が上
がるかどうか、という問題ですね。

私も最初は分かりませんでした。
確率の専門の数学者もだまされたという話です。
ポール・エルデシュという史上最高の数学者といわれる人でさえ、最初
はだまされたようです。
数学の専門家とか、得意な人は、この手の問題を見ると、すぐに、確率
は変わらないだろうという先入観を持ってしまうのではないでしょう
か？くじ引きの順番とかを連想して。

結局、ドアを変えないで当たる確率は、最初に選んだドアが当たってい
る場合で1/3、ドアを変えて当たる確率は、最初に選んだドアが外れて
いる場合で2/3です。

ドアが3枚だと直感が働きにくいので、たとえばドアが100枚あって、1
枚のドアのみが当たりであるという状況を考えます。
解答者が1枚ドアを選んで、司会者は残りの99枚のドアの内、はずれの
ドアを98枚開けて見せる場合、開けられなかった1枚のドアが当たりで
あると強く感じられると思います。
この場合は、最初に選んだドアが当たりの確率は1/100ですので、ドア
を変えたほうが絶対に有利であると思われます。

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/03/24 02:29

たいへん有名な問題で、いろいろな所で語られているのですが、

そのために、いくつかバリエーションが生じてしまいました。
「具体的には省略」して話をすると、お互い違う問題について
話していて、全く噛み合わない場合があります。
その辺の誤解から、相手が「未だに解らない」のだと解釈して
いることも少なくありません。

よく誤解のもとになるのは、解答者が１回目でアタリのドアを
選んだとき、司会者が２枚のハズレの内どちらを開けるのかを
推測する手段があるのか？という点です。
ここを明確にしないと、この問題は、単なる司会者と解答者の
腹の探りあいになってしまい、確率の問題になりません。

心ある紹介者は、「その場合、司会者はハズレのドアを1/2づつ
の確率で選び、解答者もそのことを知っている。」と指定して
いることが多いようですが、敢えて別の設定をする事もあります。

その他にも、バリエーションは様々です。
Wikipediaの記事が良くまとまっていますから、興味があれば
覗いてみると面白いですよ。

こういった、細部の設定が問題の内容を大きく変えてしまう
(のに、そのことに気づき難い)問題を整理して、いろいろ考える
のは楽しいものです。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3884432.html

No.3 回答者： Ishiwara 回答日時： 2008/03/27 09:09

> 数学が得意であるからこそ陥るワナ

私もそう思います。数学者は、論理を省略することが得意です。その盲点を衝いていると思います。

大学教授クラスの一流数学者も大勢間違えたということです。中には出題者の正解発表を罵倒した人も多く、出題者はそのような人の名前を公表して敵討ちをしたそうです。

ベイズの定理を使うと簡単なのですが、それを勉強するのも面倒、という人には、モンテカルロ・シミュレーションをお勧めします。サイコロ１個かトランプひと組で簡単にできます。