フーリエ級数について勉強しているのですが、
「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の理解が非常に曖昧です。
(1)
「区分的に連続」な関数の私のイメージは
周期の変わり目で不連続であってもいいけど、その不連続点の前後で発散していない関数、
なのですが、どこか不十分でしょうか?
(2)
「区分的に滑らか」な関数とは、
「その関数が区分的に連続、かつ1階導関数が区分的に連続」な関数とテキストでは説明されているため、
「区分的に滑らか」ならば「区分的に連続」である、と理解しているのですが、
これは正しいでしょうか?
よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1) 「区分的に連続」の定義に、文献ごとのブレはないのか?
が少々不安な気はします。私の知っている定義は、
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/li …
のようなモノです。
「その不連続点の前後で発散していない関数」とは、
リンク先の 条件2 のことを言わんとしているようです。
この流儀では、ただ有限個の除外点以外で連続なだけではない
のです。フーリエ級数を扱うときには、この意味での
「区分的に連続」な関数が登場しますね。
(2) 「区分的に滑らか」の方は、その説明ではマズイ
ような気もします。「滑らか」も、文脈ごとにブレのある用語ですが、
概ね「任意階微分可能であること」を指すようです。
複素関数なら、1階微分可能と任意階微分可能は同じことですが、
「区分的に滑らか」と言うときには、実関数を考えていることが
多いように思います。実関数の意味では、1階微分可能な関数が
任意階微分可能とは限りません。
ただし、フーリエ級数を扱うときには、
「区分的に連続、かつ1階導関数が区分的に連続」な関数が
登場するので、ソレを「区分的に滑らか」と呼んでしまうような
流儀があるのかも知れません。
どうなんでしょうね。
No.1
- 回答日時:
それぞれの「具体例」を作れますか?
「区分的に連続」
区間内に有限個の点があってそれらの点だけで連続ではない
つまり
発散は関係ありません.
例:
f(x) = -1 (x<0)
= 0 (x=0)
= 1 (x>1)
いわゆる「符号関数」の類です.
x=0だけで連続ではないので区分的に連続です.
例:y=1/x x=0で定義されていないが
それ以外では連続
「区分的に滑らか」
例:y=|x|
x=0で微分可能ではなく,他では微分可能
要は「折れ線」が代表的なもの
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