見慣れないタイプの楕円方程式なのですが

x^2-2xy+3y^2-2x+2y=1
で表される楕円について、

(1)楕円の中心
(2)楕円と交わる直線y=x+kについて、y切片の最大値
(3)楕円と交わり、原点を中心とする円について、半径の最大値を与えるyが満たす方程式

を求めよ、という問題なのですが、xyの項などがあり変形の仕方がよく見えてきません。
普通楕円といえば原点を中心として　x^2/a^2+y^2/b^2=1 という形が一般的ですが、この問題はまずどういう式変形をするべきなのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/04/23 23:38

#2,#3です。

A#3の補足質問への回答

>(3)x^2-y^2-3xy-x-y=0
途中計算がないので、どこかで間違ったね。
微係数の計算は両方とも合っている。
正しく計算できたなら
x^2-y^2-2xy-x-y=0
となるはず。(1)でもそうですが、少し計算力と計算途中で正しいかチェックできるような工夫をすると計算ミスを減らせるかも…。

(3)の問題自体はあまり感心できる問題ではないですね。
満たす方程式なら何通りも存在しますから。

例えば、
x^2-2xy+3y^2-2x+2y=1
x^2-y^2-2xy-x-y=0
x-4y^2-3y+1=0
いずれも正解です。
いずれも、円の半径が最大値を通る時の楕円と円の共通接線の共有接点を通りますね。

3番目の式がxについて一次だから、3つの式の中では最も簡単ですね。

この回答へのお礼

すいません、計算間違いでした。やり直したところ一致しました。
確かに（３）は出題の意図がよくわからないです。楕円自身もこの条件を満たすわけですからね。ともあれ有り難うございました。

お礼日時：2008/04/25 16:42

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2008/04/24 02:29

> xyの項などがあり変形の仕方がよく見えてきません。

いやいや、問い(1)(2)(3)のどれについても、楕円の式そのものを変形する必要はありません。問い(2)(3)はま、アタリマエなんで、(1)について。

●もしも楕円の「一番上」の点のy座標（q1とする)と「一番下」の点のy座標(q2とする）が分かれば、楕円の中心のy座標は「一番上」と「一番下」の丁度真ん中だから(q1+q2)/2だと分かりますよね。このq1, q2を計算するには、
「方程式
y=q　（qは定数）
で表される直線が、楕円
x^2-2xy+3y^2-2x+2y=1
と丁度接するようなqを求む」という問題を考えます。（元の問題の問い(2)と良く似た問題ですね。）すると解は２つあって、それらがq1とq2です。
　同様に、
「x=p　（pは定数）
という方程式で表される直線が、楕円
x^2-2xy+3y^2-2x+2y=1
と丁度接するようなpを求む」という問題を考えると、２つの解（p1, p2としましょう）は楕円の「一番右」の点と「一番左」の点のx座標を表している。なので楕円の中心のx座標は「一番右」と「一番左」の丁度真ん中(p1+p2)/2である。

●また、問い(2)をそのまま利用する解法も考えられます。
　楕円と交わる直線y=x+kについて、kの最大値k1と最小値k2が分かったとする。すると、直線y=x+k1とy=x+k2はどちらも楕円の接線である。しかも互いに平行。だから、直線 y=x+(k1+k2)/2 は楕円の中心を通る。
　同様に、楕円と交わる直線y=-x+jについて、jの最大値j1と最小値j2が分かったとする。すると、直線 y=x+(j1+j2)/2 は楕円の中心を通る。
　従って、直線 y=x+(k1+k2)/2 と直線 y=x+(j1+j2)/2 の交点が中心。

●もっと別のやりかたもある。例えば、「直線 y=ax+bと楕円との交点をP, Qとするとき、PとQの間の距離が一番長くなるようなa, bを求む」という問題が解けたとすると、この直線y=ax+bは楕円の長軸を表しているわけです。

この回答へのお礼

なるほど、楕円が軸対称形であることを利用すれば判別式を用いて解けるわけですね。大変参考になりました。

お礼日時：2008/04/25 16:45

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/04/23 17:32

#2です。

A#2の補足質問について

質問の問題では標準形の方程式を求めることは要求してはいません。
あえて標準形を求めるなら
sin(π/8)=√(2-√2)/2,cos(π/8)=√(2+√2)/2
を代入されればいいでしょう。
計算を間違えなければ
x^2/{(2+√2)/2}+y^2/{(2-√2)/2}=1
と出てきます。(最後にs=x,t=yと置き換える）
後は質問者さんの計算力の問題だけです。

この回答へのお礼

本問では必ずしも標準形にする必要は無いのですね。
とりあえず問題のほうを解いてみました。

(1)　中心(1,0)
(2) k(max)=√2-1
(3)　
円の方程式を
x^2+y^2=a^2
として、両辺をxで微分して
y'=-x/y
一方、x^2-2xy+3y^2-2x+2y=1 の両辺をxで微分すると
y'=(y-x+1)/(1-x+3y)

この二つが等しくなるので,求めるyの方程式は
x^2-y^2-3xy-x-y=0

（３）には自信があまり無いですがこんなところでしょうか？

お礼日時：2008/04/23 21:09

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/04/23 15:02

丸投げ問題の質問なので丸解答ができません。

したがって、ヒントだけ。

ヒント）
(1)
i)x軸方向に「-1」平行移動すると「xとy」の項が消えます。
i)の操作を行った後
ii)原点の回りに「π/8」時計回りに回転すると「xy」の項が消えます。
すると楕円の標準形にできます。

ii)の操作では楕円の中心は移動しませんから、i)の移動で楕円の中心が原点に移動します。

(1)のポイントは平行移動ですね。平行移動したとき楕円の式がどうなっていないといけないかよく考えて見てください。

(2),(3)は楕円の標準形とは関係ありませんね。
(2)y=x+k
が楕円の接線の条件、またはy=x+kを楕円の式に代入して重解を持つ条件からkが出てきます。
(3)円と楕円の接線の傾きと接点が一致する「共通接線」の条件から共通接点座標を求めれば（原点から遠い方の座標）、その共通接点と原点の距離が最大円の半径になります。

参考URL：http://www.metro-hs.ac.jp/rs/sinohara/zahyou_rot …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

xにx+1を代入して
x^2-2xy+3y^2=2
とx,yの項は消すことができました。
次の回転ですが、そのπ/8回転移動の仕方がよく分かりません。
θ回転後の新たな座標
s=xcosθ-ysinθ
t=xsinθ+ycosθ
を直接代入しても整理できそうな様子が無いのですが、なにか上手な方法があるのでしょうか？

お礼日時：2008/04/23 16:03

No.1 回答者： aquaburry 回答日時： 2008/04/23 13:19

＞xyの項などがあり

というのは、軸がx軸,Y軸に平行ではないと言うことでしょう。
まず、楕円をθ回転するか、xy軸を-θ回転して、x^2/a^2+y^2/b^2=1の形になるように変形しましょう。xyの係数が０になるようにθを決めることになります。
但し、まだ中心が原点ではありませんので、円の中心が原点でない場合と同様な変形となります。