線形代数の問題です。
W:=“有限生成”とするとき、
(V=C^0 [a,b]、W:={Σ(k=1 to n )Ck・e^kx | Ck∈R)
V≧W=<e^x、e^2x、…、e^nx>)の
{e^x、e^2x、…、e^nx}=“線形独立”を示せ。
(1){e^x、e^2x、…、e^nx}はWの生成系 (★証明済み)
(2)e^x、e^2x、…、e^nx≠0 (恒等的に0でない)
(2)証明
Σ(k=1 to n )Ck・e^kx=0 (定数関数)(恒等的に0)
C1・e^x+C2・e^2x+…Cn・e^nx=0(恒等的に0)
両辺に1/e^xをかけると、
C1+C2・e^x+…+Cn・e^(n-1)x=0 ・・・(1)
x=0を代入
C1+C2+…+Cn=0 ・・・(2)
(1)をxで微分する
C2・e^x+2C3・e^2x+…+(n-1)Cn・e^(n-1)x=0(恒等的に0)
x=0を代入
C2+2C3+…+(n-1)Cn=0
・・・
この続きが分かりません。(分かりづらくてすみません)
何か、決まったやり方があるようなのですが・・・。
どなたかよろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
もう、ほとんどできてると思います。
C1+C2+…+Cn=0 (1回目)
C2+2*C3+…+(n-1)*Cn=0 (2回目)
がすでに出ていますが、
C2*e^x+2*C3*e^2x+…+(n-1*Cn*e^(n-1)x=0
の両辺に1/e^xをかけて、xで微分し、x=0を代入を代入すると、
1*2*C3 + 2*3*C4 + … +(n-2)*(n-1)*Cn=0 (3回目)
になります。
これをくりかえしていくと、
1*2* … *(n-2)*Cn-1 + 2* … *(n-1)*Cn=0 ((n-2)回目)
1*2* … *(n-1)*Cn=0 ((n-1)回目)
になります。
(n-1)回目の式より
Cn=0
これを (n-2) 回目の式に代入して、
Cn-1 =0
で、どんどん逆に代入していって、
C1 =0
まで得ることができます。
これで線形独立性が示せたでしょう。
見づらい・分かりづらいですが、このカテの宿命ですね。
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