No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1) f(x) = (1+x)^(1/x)
とします.
f(0) は普通に x→0 の極限値 e と思えばよいでしょう.
(2) log f(x) = (1/x) log(1+x)
ですから,両辺を x で微分して
(3) f'(x)/f(x) = {1/x(1+x)} - {log(1+x)}/x^2
すなわち
(4) f'(x) = f(x) [{1/x(1+x)} - {log(1+x)}/x^2]
となります.
(4)に x=0 を代入すると分母にゼロが出てきて困る(手が止まってしまう?)ように見えますが,
(5) 1/(1+x) = 1 - x + x^2 - ・・・
(6) log(1+x) = x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 - ・・・
を使えば,ちゃんと lim{x→0} f'(0) = -e/2 が出てきます.
以下同様,でできるはずですが,(4)を繰り返し微分すると項数が増えるので,結構大変です.
もっと簡単にやるには次のようにすればよいのです.
(2)で,log(1+x)の Taylor 展開
は(6)に書いたようによく知られていますから,直ちに
(7) log f(x) = 1 - (1/2)x + (1/3)x^2 - (1/4)x^3 + O(x^4)
がわかります.
O(x^4) は x^4 以上の項を意味しています(Landau の記号).
(8) f(x) = e^{log f(x)}
で
(9) e^y = 1 + y + (1/2!)y^2 + (1/3!)y^3 + O(y^4)
ですから,(9)の y に(7)の右辺を代入して丁寧に3次の項まで拾えばOKです.
O(x^4) や O(y^4) で省略してしまった部分からは,
最終結果で x^3 以下の項は決して現れないことを確かめてください.
なお,私の結果も kabaokaba さんの結果と全く同じです.
No.1
- 回答日時:
そもそもx=0で値をどう定義するか,
定義したとして,Taylor展開の条件を満たすのか
というようなことはチェックしてますか?
ちなみに,
e-(e*x)/2+(11ex^2)/24-(7ex^3)/16+・・・・
となるはず.
回答ありがとうございます。
X=0で(1+x)^(1/x)をe、として定義してよいという条件だったと思います。Taylor展開の条件というのは、剰余項のことでしょうか?
あと、もしよろしければ、
e-(e*x)/2+(11ex^2)/24-(7ex^3)/16+・・・・
をどのように導いたのか、方針だけでも教えていただけませんでしょうか。
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