見守り電球またはGPS端末が特価中!

こんにちは。

[問]f(x)=x^2(x∈[-π,π])のフーリエ級数を求め,それを使ってΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を示せ。
[解]
f(x)(=x^2)π^2/3+4Σ[k=1..∞](-1)^kcos(kx)/k^2=π^2/3-4cosx+cos(2x)-4/9cos(3x)+…
これを正規直交関数{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}を使って書き直すと
1/√(2π)・√(2π)・π^2/3+cosx/√π(-4√π)+sinx/√x・0+cos(2x)/√π・1+sin(2x)/√π・0+cos(3x)/√π・(-4√π/9)+… …(1)
従って,a_0=√(2π)/3,a_1=-4√π,a_4=0,a_5=-4√π/9,…
従って(1)は
Σ[k=0..∞]a_k^2=a_0^2+a_1^2+a_3^2+a_5^2+…=2π^5/9+16π+π+16π/81+…=2π^5/9+16Σ[k=1..∞]1/k^4 …(2)
一方,∥f(x)∥^2=∫[π..-π](f(x))^2dx=∫[-π..π]x^4dx=2π^5/5 …(3)
(2)と(3)をParsevalの等式「∥f(x)∥^2=Σ[k=0..∞]a_k^2」に代入して2π^5/5=2π^5/9+16πΣ[k=1..∞]1/k^4
∴Σ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90

の問題についてですが正規直交関数は色々あると思いますがこの問題では特に
{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}
を使えばいい事とどのようにして知る得るのでしょうか?

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

 どうやら、話の筋がこんぐらがってるように思います。



 この[問]全体の構造を見れば、これは「x^2の直交展開からΣ[n=1..∞]1/n^4を計算するにはどんな直交関数系を使えば良いか」という話ではない。「x^2の直交展開から何が言えるか」という話ですらない。そもそも「x^2」なんざ脇役です。

 もし[問]が「Σ[n=1..∞]1/n^4を計算せよ」というのだったら、アプローチはいろいろある。
 公式集で探すとか、とりあえず検索掛けてみるとか、知ってる公式が使えないかとか、部分和を作ってみるとか、項の順序をいじってみるとか、漸化式にならないかとか、余分な項を入れてみるとか、変数変換してみるとか、もっと一般化してみるとか、何か旨い母関数のテイラー展開とか、その微分とか積分とか、何か変な関数の積分に出て来る漸化式の応用、いや案外発散するんじゃないかとか、…
 それじゃ、アプローチの仕方が絞れなくて大変でしょう。どこから手を着ければいいのか分からなくて、多くの人は諦めちゃうだろう。たとえ見込みのあるアプローチを見つけても、その計算に公式集が要るようじゃ何やってんだか分からない。ってんで、「x^2のフーリエ級数を考えてみなさい」というスペシャルヒントが書いてある。そういう問題だと捉えることができます。

 ですが、この[問]は解いて終わりというだけのものじゃない。そのエッセンスはむしろ、こういうことではないでしょうかね:
 「Σ[n=1..∞]1/n^4は幾らか。という話はちょっと置いといてですね、全然関係なさそうな、x^2のフーリエ級数展開をやってごらんなさい。いーからやんなさい。ともかくやるんです。…するとどーです、Σ[n=1..∞]1/n^4の値が旨い具合に現れる。まーちょっと、この結果を味わってみませんか。総和を計算するために一見迂遠なフーリエ級数を使うなんて、面白いでしょ。しかも、πですよ、π。この級数からπが出て来るなんて予想できました?ナント、πの値を計算する公式が得られちゃった訳です。楽しいね」。

 たとえば「じゃあ、もっと他の関数のフーリエ級数展開を使うと、このやり方でどんな無限級数が計算できるかな?」という風にでも、興味が発展すると良いのですけどね。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

詳細なご説明誠に有難うございました。
お陰様で納得できました。

お礼日時:2008/05/21 05:28

siegmund と申します.


大学で物理の研究と教育をやっています.

いやあ,stomachman さんお久しぶりです(^^).

まず,問題を解く際には「こうすれば間違いなくできる」
というような方法というか筋道というか,
そういうものがいつも用意されているとは限りません.
だから,本当に未解決の問題を解こうとすればさんざん苦労するわけです.
stomachman さんが,「それじゃ、アプローチの仕方が絞れなくて大変でしょう」
と言われるのも全くもっともです.

私は stomachman さんとはちょっと違った視点から答えてみましょう.
もちろん,どちらの答が正しいというような話ではありません.

フーリエ級数を正規直交化したのは Parseval の等式を使える形にするためですから,
質問の本質は「なぜフーリエ級数か?」ということでしょう.
要するに「こうやるとうまくいくから」なのですが,それじゃあんまりですね.

少し考えてみましょう.
1/n^4 の和が欲しくて, Parseval の等式を用いるというなら,
1/n^2 が出てくるようなものを探せばよい.
フーリエ級数なら x^2 cos nx の類の積分を計算するのですから,
具体的形はともかくとして,2度部分積分して 1/n^2 が現れるのはすぐに見えます.

他の正規直交関数ではダメか?
x^2 を使うというのでしたら,ルジャンドル多項式みたいなのは全然ダメです.
こういう多項式シリーズは,x について0次式,1次式,2次式,...,となっていますから
x^2 でしたら最初の3つの多項式で表されてしまうわけで,
無限級数が現れようがありません.
ルジャンドル関数やルジャンドル陪関数だったら無限級数になりますが,
1/n^2 が現れるかどうかはすぐには見えませんね(少なくとも私には).

x^2 とフーリエ展開でなくて,他の関数と他直交展開でうまくいくかも知れませんが,
それこそ探すのに苦労しそうです.

この種の無限級数(1/n^2,1/n^4,など)の和はオイラーがはじめて求めたものですが,
歴史に名を残す大数学者にして相当の苦労があったのでしょう.
ですから,ちょっと数学ができる程度でこういう話を全く知らなければ,
完全に自力で導くのは非常に難しいと思われます.
それで,x^2,Parseval の等式,フーリエ展開,というスペシャルヒントがあるわけです.
気がついてみれば,あるいは言われてみれば,計算自体は全く容易ですけれどね.

それでは,x^4 のフーリエ展開では 1/n^4 が直接出てきて,
Σ[n=1..∞]1/n^4 が求められるか?
筋はOKですが 1/n^2 も出てきますので,Σ[n=1..∞]1/n^2 = π^2/6 と」組み合わせる必要があります.

x^3 のフーリエ展開から Σ[n=1..∞]1/n^3 が求められるか?
残念ながらうまくいきません.お試し下さい.
Σ[n=1..∞]1/n^3 すなわち ζ(3) はζ(2)やζ(4)みたいな形には書けないことが知られています.

完全に自分で見つけるのは無理にしても,話を知っていると応用が利きます.
手前味噌で恐縮ですが
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1854210.html?ans_cou …
などご覧下さい.
    • good
    • 1
この回答へのお礼

詳細なご説明誠に有難うございました。
お陰様で納得できました。

お礼日時:2008/05/21 05:28

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qパーセバルの等式(Σ1/n^2)

こんばんは。

xのフーリエ級数
 Σ(n=1,∞)(((-1)^(n+1))/n)
を利用して
 Σ(n=1,∞)(1/n^2)
の値を求める問題をやっています。

パーセバルの等式から
 (1/π)∫(-π~π)(x^2)dx = Σ(n=1,∞)(((-1)^(n+1))/n)^2
について
 (左辺)
  = (1/π)*((π^3)/3+(π^3)/3)
  = (2/3)*π^2
 (右辺)
  = Σ(n=1,∞)(1/n^2)
から、
 Σ(n=1,∞)(1/n^2) = (2/3)*π^2
と計算したのですが、答えは (π^2)/6 のようです。

何が間違っているのかまったく分からない状態です。分かる方いらっしゃいましたら是非教えてください。
よろしくお願いします。

数式見づらくてごめんなさい。。

Aベストアンサー

理由は簡単です。
xの(-π,π)のフーリエ級数展開が間違っているのです。

x=Σ(n=0~∞)(-2cos(nπ)/n)sin(nx)
です。
2が抜けています。

Q閉部分空間

関数解析を勉強するさいに、出てくる閉部分空間とはどの様な概念なのでしょうか?

部分空間との違いは、何なのでしょうか?

Aベストアンサー

関数解析で扱う線形空間は単に線形空間であるだけでなく位相というものを付け加えてあるものがほとんどです。いわゆる線形位相空間と呼ばれるものです。部分空間は通常の線形空間としての意味で、これに閉が付け加えられるときは与えられた位相でその部分集合(部分空間)が閉じていることも要求しているということです。

有限次元ノルム空間では部分空間は必ず閉じているので通常の部分空間と閉部分空間は同じです。
一方、無限次元になるとそうとは限らなくなることはよく知られています。

Q証明問題

下記の証明問題(レポートなどではなく、ただ単に趣味で解いている程度のものですから問題ないと思われます)を解いていたのですが、いくら考えてもわからないので、どなたか解いてみていただけないでしょうか?


Vを計量線形空間、Wをその部分空間とする。Wの直交補空間をW⊥とするとき、VはWとW⊥の直和であることを証明しなさい。


以上です。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

dimW=rとして、W正規直交基底{e1,e2,・・・er}をとる。
Vの任意の元vに対し、
v1=Σ(vi,ei)ei、v2=v-v1 [Σ i=1,r]
とおく。
v1∈Wであり、ej(1≦j≦r)に対して、
(v2,ej)=(v-v1,ej)
    =(v,ej)-(Σ(v,ei)ei,ej) [Σ i=1、r]
    =(v,ej)-(v,ej)
    =0
v2は、Wの任意の元と直交する。
故に v2∈W⊥
よって、VはWとW⊥の和となる。
V=W+W⊥

W∩W⊥の元vをとれば、(v,v)=0であるから、v=0 となる。
よって、
W∩W⊥={0}
故に
V=W(+)W⊥    (+)・・・直和

Q1/n^2と1/n^3の無限和の問題を教えて下さい

この問題が分かりません。
有界単調数列が有限極限値を持つことを利用して、Σ[n=1→∞]1/n^2 とΣ[n=1→∞]1/n^3が有限の値に収束する事を示しなさいという問題です。

教えて下さい、お願いします

Aベストアンサー

1/n^2も1/n^3も単調であることは簡単
有界であることは
1/n^2<1/((n-1)n)=1/(n-1)-1/n
1/n^3<1/((n-2)(n-1)n)=(1/2)(1/((n-2)(n-1))-1/((n-1)n))
を使って示せるだろう。

Qプランク法則について

プランクの法則から何がわかるのですか?また、法則の意味を、中高生にでも分かるように、要点のみをかいつまんで教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#2です。「お礼」の疑問にお答えします。

>「プランクの法則」「プランクの公式」は同じものなのかよくわかりません

プランクの法則は厳密にいうと、
E=nhν (nは自然数:1、2、3・・・無限大まで)
です。(#2の回答では、nを省略してしまいました。ごめんなさい。物理を研究している人は、E=hν のことをプランクの法則と呼んでいるので、そのまま使ってしまいました。混乱させてしまったようです)

プランクの公式は、式が難しくて、
U(ν)dν=8πkβ/c^3*1/exp(βν/T)-1*ν^3dν
となります。(expは指数関数で普通はeと書きます。^はべき乗、10の2乗は 10^2=100 です。*は掛け算のことで普通はxと書きます。πは円周率、kはボルツマン定数、βは定数でkβ = h です。この記号βは解らなくてもかまいません。専門家しか使いませんから。U(ν)dνも意味が解からなくてもいいです、名前は、U(ν)dνがエネルギー分布、dνが微分記号です)
参考URLの「プランクの公式が実験値を いかに良く再現するか 下図 で明らかでしょう」の「下図」を言葉でやさしく教えてくれているのが、#3さんの回答です。
これで「プランクの法則」と「プランクの公式」違いが、解っていただけたでしょうか?

#2です。「お礼」の疑問にお答えします。

>「プランクの法則」「プランクの公式」は同じものなのかよくわかりません

プランクの法則は厳密にいうと、
E=nhν (nは自然数:1、2、3・・・無限大まで)
です。(#2の回答では、nを省略してしまいました。ごめんなさい。物理を研究している人は、E=hν のことをプランクの法則と呼んでいるので、そのまま使ってしまいました。混乱させてしまったようです)

プランクの公式は、式が難しくて、
U(ν)dν=8πkβ/c^3*1/exp(βν/T)-1*ν^3dν
とな...続きを読む

Qフーリエ級数展開についてです。 急いでます。

(1)下の図のような周期2の関数がある。これをf(t)=|t| (-1<t<1)とし、そのフーリエ級数展開を求めなさい。なお、フーリエ級数展開はフーリエ係数を求めそれらの係数を用いて与式を展開すること。

         |  
     /\ |   /\
_\/__\|/__\/___
     -1       1  

(2) 上の結果を用いて、Σ 1/(2n-1)^2=(π^2)/8となることを導きなさい。
         (n=1~∞)

という問題を教えてください。

Aベストアンサー

周期2の偶関数なので,
coskπt
を用いて展開ですね.
kが偶数の時は係数が0になる(補足にある((-1)^k-1のような部分が消えます)
ことに注意すると,k=2n-1として
f(t)=1/2+Σ(n=1 to ∞) [-4/{(2n-1)^2・π^2}]cos(2n-1)πt

(2)はこの結果でt=0とおくと,f(0)=0=...
でいいのでは.

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q直交補空間は線形部分空間

タイトルの通りです
H:ヒルベルト空間、M^⊥:Mの直交補空間として
直交補空間は線形部分空間となることを示したいのですが、

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/tupleRnMetric/OrthogonalComplementThrm.htm
定理:ユークリッド空間R^nの部分空間の直交補空間は、R^nの部分空間

を参考にして解いたのですが、これだと実n次元数ベクトル空間のみでしか示していないことになると思います。

「n次元ユークリッド空間R^nは、実ヒルベルト空間」
ということより、 R^n=H (H:ヒルベルト空間)と認識してしまったのですが、
やっぱり R^n=H は違いますよね!?

どのように解けばいいのでしょうか?
力を貸してくださると助かります。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

回答した後で、ちょっと気になったことが…
「直交補空間」という語には、既に「補空間」という語句が入っている。
「補空間」ならば、線型部分空間であることは定義の一部で、
あらためて証明するというのも変な話になる。

No.1 に書いたのは、
内積空間 H の線型部分空間 M に直交するベクトルの集合は、
H の線型部分空間になる…という話で、
だからこそ、「直交補空間」なるものが存在することになる。

Qフーリエ変換の問題について

f(x)=e^(-ax^2)  (-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= ...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング